Loi de Gumbel: détermination des moments d'ordre k

par joyeux_lapin13 Lun 9 Déc 2013 - 11:50

Bonjour,

Quelqu'un aurait sous le coude la démonstration des moments d'ordre k pour la loi de Gumbel?

Ou du moins la forme général de:

intégrale de 0 à +infini { (ln(u) ^k) exp(-u) du }, en fonction de la constante d'Euler et de la fonction de Riemann.

Sur wikipédia on peut trouver la formule simplifiée de cette intégrale pour k = 1 et 2 mais pour la démonstration du skweness et du kurtosis normalisé pas moyen de voir comment simplifier les moments d'ordre 3 et 4...

Perso je pensais que ça se faisait facilement en intégrant par partie mais rien que pour k = 1 on se retrouve avec un terme indéfini et un autre (intégrale de 0 à +infini {(u ^(-1)) e ^(-u) du} qui n'est pas identifiable à la fonction gamma et donc ne peut pas être rapproché de la constante d'Euler...).

Merci d'avance!

par joyeux_lapin13 Mer 11 Déc 2013 - 5:42

Bon alors après moultes recherches je suis tombé sur ce document (voir exo 6 et sa correction):

http://mp.cpgedupuydelome.fr/pdf/Fonction%20d%C3%A9finie%20par%20une%20int%C3%A9grale%20-%20Fonction%20Gamma.pdf

qui permet de résoudre la question pour le cas,

intégrale de 0 à +infini { ln(t) exp(-t) dt }

Du coup en procédant par analogie j'ai essayé de résoudre le cas,

intégrale de 0 à +infini { ln(t) ^2 exp(-t) dt }

ce qui me fait atterrir sur l'intégrale,

intégrale de 0 à 1 { lnu . ((1 - u) ^n - 1)/u }

et là je manque vraiment d'inspiration... puisque si on procède par partie on se retrouve avec l'intégrale de ((1 - u) ^n - 1)/u qui me fait bloquer... si quelqu'un la connaît celle-là je suis vraiment preneur de l'astuce qui permet de continuer et boucler ce topic...

par niaboc Mer 11 Déc 2013 - 6:53

le document provient du site de ma prépa :-), souvenirs.... j'aurai peut-être pu t'aider, à l'époque... si j'ai le temps, j'y jette un oeil!

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