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moments d'une loi normale repliée et tronquée

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moments d'une loi normale repliée et tronquée Empty moments d'une loi normale repliée et tronquée

Message par Eric Wajnberg Jeu 11 Aoû 2022 - 7:53

Bonjour,

Je suis en train de me casser les dents sur le problème suivant :

Dans des simulations, je tire des valeurs X dans une loi normale centrée (espérance = 0). Jusque là, rien de bien compliqué. Dans cette loi, je m'intéresse en fait plutôt à la valeur absolue de X, et la loi correspondante est une loi normale dite "repliée" ("folded" en anglais), dont l'espérance se calcule facilement. Elle vaut sigma*sqrt(2/pi) (où sigma est l'écart-type de la loi ; voir ici par exemple). Encore une fois, pas trop de problèmes jusque là.

Le problème que j'ai à présent, est que j'ai besoin de tirer des valeurs qui soient supérieures (en valeur absolue) à un certain seuil "a". Je suis donc en fait à la base dans une loi normale tronquée, et ici aussi on peut en calculer l'espérance (voir ici par exemple).

Je pense que vous pouvez à présent entrevoir mon problème : Que vaut l'espérance d'une loi normale centrée d'écart-type sigma, repliée et tronquée au-dessus d'un seuil "a" ?

Impossible de trouver l'information sur le web, et je n'arrive pas à calculer ceci théoriquement.

Si quelqu'un a une idée, elle serait la bienvenue.

Amitiés à tous, Eric.
Eric Wajnberg
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Message par droopy Jeu 11 Aoû 2022 - 11:07

Bonjour,

D'un point de vue analytique je serai bien incapable de te dire, par contre d'un point de vue numérique tu peux essayer ça et peut-être que ça nourrira ta réflexion. Sinon je pense qu'il faut voir auprès d'un vrai mathématicien-stateu :
Code:
# marche uniquement pour une variable centrée
f <- function(x, s, a) x*dnorm(x, 0, s)/(pnorm(-abs(a), 0, s)*2)*2
integrate(f, 1.5, Inf, s = 1.3, a = 1.5)

# un test avec s = 1.3 et a = 1.5
set.seed(101)
a <- rnorm(1e8, 0, 1.3)
ax <- abs(x)
ax <- ax[ax>1.5]
mean(ax)
cdlt
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Message par Eric Wajnberg Jeu 11 Aoû 2022 - 11:44

ok, merci. Je vais voir ce que je peux faire avec ça..

Eric.
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Message par droopy Ven 12 Aoû 2022 - 13:25

essaie ça (pour a > 0) :
moments d'une loi normale repliée et tronquée Gif.latex?%5Cdfrac%7B%5Csigma%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%5Ccdot%7B%5CPhi%28%5Cfrac%7B-a%7D%7B%5Csigma%7D%29%7D%7D%5Ccdot%20e%5E%7B-0
Code:
a <- 1.5
s <- 1.3
integrate(f, 1.5, Inf, s = 1.3, a = 1.5)

s/(sqrt(2*pi)*pnorm(-a/s))*exp(-0.5*(a/s)^2)

cdlt
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Message par Eric Wajnberg Ven 12 Aoû 2022 - 15:53

Merci,

C'est la piste sur laquelle je planche actuellement. Cependant, plus j'y pense, plus je crois qu'il y a une solution plus simple car, d'une certaine manière, une loi Normale repliée, ça ressemble à une loi Normale tronquée à zéro (les espérances sont évidement les mêmes). Du coup, s'intéresser à calculer l'espérance d'une loi repliée et tronquée en 'a' revient peut-être tout bêtement à s'intéresser à l'espérance d'une loi simplement tronquée en 'a' (a>0), ce qui est simple. Je suis en train de calculer les moments correspondants.

Eric.
Eric Wajnberg
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Message par droopy Mar 16 Aoû 2022 - 5:58

Bonjour,

en tout cas si tu as la réponse n'hésite pas à nous la donner, je serais curieux de la connaître.

cdlt
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Message par Eric Wajnberg Mar 16 Aoû 2022 - 8:17

droopy a écrit:Bonjour,

en tout cas si tu as la réponse n'hésite pas à nous la donner, je serais curieux de la connaître.

cdlt
Bon, en fait, c'est donc assez simple. Les moments d'une loi tronquée (notamment une loi Normale) sont bien connus. On trouve plusieurs pages Wikipedia qui expliquent ceci simplement. Il y a même des exemples de code R qui calculent ça (voir par exemple ici).

Je viens de recoder ceci en C, et tout marche correctement.

Merci pour ton temps ici droopy pour répondre à ma question.

HTH!

Eric.
Eric Wajnberg
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Message par droopy Mer 17 Aoû 2022 - 9:01

Merci pour ce lien.
En tout cas il semble que ma formule soit bonne pour mu = 0 et a > 0 !

cdlt
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