intervalles de confiance, prévision et de tolérance

Bonjour!

Je voudrais connaître la différence entre intervalles de confiance, de prévision et de tolérance. Et comment les calculer?

Voici ce que je crois avoir compris :
- l'intervalle de confiance est relatif à un paramètre estimé, ils représentent l'erreur sur la valeur estimée (comme les hyperboles de confiance autour d'une droite de régression). On le calcule comme ceci : valeur estimée +- t(alpha/2,dl) * SE.
- l'intervalle de tolérance est basé non pas sur un paramètre estimé mais sur les points du nuage ; il représente l'erreur sur chaque valeur individuelle On le calcule comme ceci : valeur estimée +- N(alpha/2) * sigma.
- par contre, l'intervalle de prévision... je nage!

Pour couronner le tout, je n'arrive pas à comprendre comment le logiciel R calcule les intervalles de prévision (prediction interval)... Il ne sont pas équivalents aux intervalles de tolérance calculés par mes soins (cf. supra).


Bref, un petit éclairage serait le bienvenu...



Merci d'avance,




Peter

Ceci devrais t'aider :
http://en.wikipedia.org/wiki/Tolerance_interval
http://en.wikipedia.org/wiki/Prediction_interval
http://en.wikipedia.org/wiki/Confidence_interval

http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Statistical_intervals

Oui..heu taper les mots-clé sur google c'est déjà fait, monsieur Droopy!!

Si je m'adresse à ce forum pour m'expliquer la fine différence entre les intervalles de tolérance et de prédiction, c'est que je n'ai pas trouvé d'explications satisfaisantes sur la toile... Et donc me renvoyer sur des liens wikipedia ne m'aide absolument pas...

J'ai pas trop compris le wiki sur l'intervalle de tolérance, mais apparemment ça n'a rien à voir avec un modèle.
L'intervalle de prédiction c'est quand tu as ajusté un modèle à tes données, et tu veux prédire la réponse d'un nouvel individu.

Peter Zorglub a écrit:Oui..heu taper les mots-clé sur google c'est déjà fait, monsieur Droopy!!
Et donc me renvoyer sur des liens wikipedia ne m'aide absolument pas...

Dommage parce que tout est dedans ...
Un intervalle de confiance se calcule pour un paramètre de ta population par exemple la moyenne
Un intervalle de tolérance est un intervalle dans lequel X% de la population tombe, et ce avec une probabilité p. La différence majeure est que l'intervalle de tolérance fait référence aux individus de ta population (a la distribution de la population) alors que l'intervalle de confiance lui fait référence à un paramètre de ta population. L'intervalle de tolérance sera donc beaucoup plus large que l'intervalle de confiance, parce que les observations sont souvent plus dispersées que la moyenne par exemple.
L'intervalle de prédiction est un intervalle qui doit contenir la prochaine observation.
Par exemple tu fais une régression linéaire du poids en fonction de la taille, tu prédis le poids pour une taille de 1m70. Cette prédiction est l'espérance de Y sachant X, autrement dit c'est le poids moyen attendu d'un individu de 1m70. Quand tu calcules l'intervalle de confiance autour de poids tu estimes un intervalle autour de cette moyenne. Si tu avais pris un autre jeu de donnée et que tu avais calculé cette relation tu aurais eu une légère variation des paramètres de ta droite et par conséquent une légère variation de la moyenne estimée pour une taille de 1m70. L'intervalle de confiance mesure cette variation autour de la moyenne.
Quand tu calcules un intervalle de prédiction pour une taille de 1m70 tu cherches à savoir dans quelle gamme de poids peut tombée une personne de 1m70, autrement dit tu cherches à savoir les bornes à x% de la distribution des poids des personnes mesurant 1m70. Ici tu ne t'intéresses plus à la moyenne mais à la distribution des poids des personnes qui mesurent 1m70. Tu tires au hasard une personne dans la population des gens de 1m70 et tu cherches à savoir qu'elles peuvent être sa taille min et max. L'intervalle de prédiction est donc plus large que l'intervalle de confiance. Les observations sont plus variables que les moyennes.
Ces deux intervalles sont calculés sachant ce qui a déjà été observé, autrement dit les caractéristiques de ton échantillon servent à les calculer.

Autres définitions :
"L’intervalle de confiance nous renseigne sur le degré de connaissance d’une caractéristique d’une population, à partir d’un échantillon aléatoire (Hahn & Meeker 1991). Cet intervalle devrait contenir avec une confiance de 100(1–α) % la vraie valeur du paramètre de la population étudiée, par exemple la moyenne"
"l’intervalle de prédiction pour une observation future unique est un intervalle qui, avec un niveau de confiance 100(1–α) %, contiendra la prochaine observation sélectionnée aléatoirement dans une population"


en espérant que ce soit plus clair.

All right, là j'ai compris :-) Intuitivement c'est ce que je me disais sans pouvoir mettre les termes corrects sur mes idées. Pour ça, merci!

En d'autres mots, peut-on alors définir l'intervalle de prédiction comme le prolongement de l'intervalle de tolérance? Si oui, dans le cas d'une régression linéaire, il devrait être constitué de deux droites parallèles à la droite de régression (comme l'intervalle de tolérance) car la distance entre les deux droite c'est 2 * N(alpha/2) * sigma(residus) . Est-ce correct?? Si oui, pourquoi R ne trace-t-il pas des droites parallèles et plutôt des hyperboles?


D'avance merci...

oui et non, parce que l'intervalle de prédiction tout comme l'intervalle de confiance tient compte de ce que tu as observés c'est à dire de tes données. De plus la précision que tu auras sera d'autant plus grande que tu seras proche de la moyenne, donc il est normal que plus tu sois loin et plus la précision diminue ce qui donne cette forme d'hyperbole.
regarde ce doc :
http://www.scribd.com/doc/51715457/30/Intervalle-de-prevision-de-Y-sachant-X#ad_unit=Doc_Sideboard_MediumRectangle_BTF_300x250&url=http%3A//www.scribd.com/doc/51715457/30/Intervalle-de-prevision-de-Y-sachant-X%23ad_unit%3DDoc_Sideboard_MediumRectangle_BTF_300x250%26url%3Dhttp%253A//www.scribd.com/doc/51715457/30/Intervalle-de-prevision-de-Y-sachant-X%2523ad_unit%253DDoc_Sideboard_MediumRectangle_BTF_300x250%2526url%253Dhttp%25253A//www.scribd.com/doc/51715457/30/Intervalle-de-prevision-de-Y-sachant-X%252523ad_unit%25253DDoc_Sideboard_MediumRectangle_BTF_300x250%252526url%25253Dhttp%2525253A//www.scribd.com/doc/51715457/30/Intervalle-de-prevision-de-Y-sachant-X%25252523ad_unit%2525253DDoc_Sideboard_MediumRectangle_BTF_300x250%25252526url%2525253Dhttp%252525253A//www.scribd.com/doc/51715457/30/Intervalle-de-prevision-de-Y-sachant-X%2525252523ad_unit%252525253DDoc_Sideboard_MediumRectangle_BTF_300x250%2525252526url%252525253Dhttp%25252525253A//www.scribd.com/doc/51715457/30/Intervalle-de-prevision-de-Y-sachant-X%252525252523ad_unit%25252525253DDoc_Sideboard_MediumRectangle_BTF_300x250%252525252526url%25252525253Dhttp%2525252525253A//www.scribd.com/doc/51715457/30/Intervalle-de-prevision-de-Y-sachant-X%25252525252523ad_unit%2525252525253DDoc_Sideboard_MediumRectangle_BTF_300x250%25252525252526url%2525252525253Dhttp%252525252525253A//www.scribd.com/doc/51715457/30/Intervalle-de-prevision-de-Y-sachant-X%2525252525252523ad_unit%252525252525253DDoc_Sideboard_MediumRectangle_BTF_300x250%2525252525252526url%252525252525253Dhttp%25252525252525253A//www.scribd.com/doc/51715457/30/Intervalle-de-prevision-de-Y-sachant-X%2525252525252526attributes%252525252525253DQuantSegs%25252525252525253DD%252525252525252526Extension%25252525252525253Dpdf%252525252525252526AdLayout%25252525252525253D-1472436212%252525252525252526DocUser%25252525252525253D65596006%252525252525252526Document%25252525252525253D51715457%252525252525252526FourGen%25252525252525253DTrue%2525252525252526skip%252525252525253D0%25252525252526attributes%2525252525253DQuantSegs%252525252525253DD%2525252525252526Extension%252525252525253Dpdf%2525252525252526AdLayout%252525252525253D-1472436212%2525252525252526DocUser%252525252525253D65596006%2525252525252526Document%252525252525253D51715457%2525252525252526FourGen%252525252525253DTrue%25252525252526skip%2525252525253D0%252525252526attributes%25252525253DQuantSegs%2525252525253DD%25252525252526Extension%2525252525253Dpdf%25252525252526AdLayout%2525252525253D-1472436212%25252525252526DocUser%2525252525253D65596006%25252525252526Document%2525252525253D51715457%25252525252526FourGen%2525252525253DTrue%252525252526skip%25252525253D0%2525252526attributes%252525253DQuantSegs%25252525253DD%252525252526Extension%25252525253Dpdf%252525252526AdLayout%25252525253D-1472436212%252525252526DocUser%25252525253D65596006%252525252526Document%25252525253D51715457%252525252526FourGen%25252525253DTrue%2525252526skip%252525253D0%25252526attributes%2525253DQuantSegs%252525253DD%2525252526Extension%252525253Dpdf%2525252526AdLayout%252525253D-1472436212%2525252526DocUser%252525253D65596006%2525252526Document%252525253D51715457%2525252526FourGen%252525253DTrue%25252526skip%2525253D0%252526attributes%25253DQuantSegs%2525253DD%25252526Extension%2525253Dpdf%25252526AdLayout%2525253D-1472436212%25252526DocUser%2525253D65596006%25252526Document%2525253D51715457%25252526FourGen%2525253DTrue%252526skip%25253D0%2526attributes%253DQuantSegs%25253DD%252526Extension%25253Dpdf%252526AdLayout%25253D-1472436212%252526DocUser%25253D65596006%252526Document%25253D51715457%252526FourGen%25253DTrue%2526skip%253D0%26attributes%3DQuantSegs%253DD%2526Extension%253Dpdf%2526AdLayout%253D-1472436212%2526DocUser%253D65596006%2526Document%253D51715457%2526FourGen%253DTrue%26skip%3D0&attributes=QuantSegs%3DD%26Extension%3Dpdf%26AdLayout%3D-1472436212%26DocUser%3D65596006%26Document%3D51715457%26FourGen%3DTrue&skip=0

encore ça :
http://books.google.com/books?id=LYn3CBN0o64C&pg=PA49&lpg=PA49&dq=intervalle+de+pr%C3%A9diction&source=bl&ots=HQGYkOgxWu&sig=nljkcX1u82Fj9syR_ecOCs4q5I0&hl=en&ei=6uf5TaKZEcGq-AbZ_7G0Aw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6&ved=0CE0Q6AEwBQ#v=onepage&q=intervalle%20de%20pr%C3%A9diction&f=false

http://books.google.com/books?id=cYb_Dv8U1QIC&lpg=PA242&dq=prediction%20interval&pg=PA242#v=onepage&q=prediction%20interval&f=false

Tu as aussi des écritures matricielles de cette intervalle de prédiction :
http://www.stat.ucl.ac.be/cours/stat2430/documents/regsimp.pdf (dernière page)

OK tout ça est très clair à présent, merci beaucoup!

Cependant, je désirerai calculer mes intervalles de prédiction et de confiance pour un polynôme de second degré. Il s'agit donc d'une régression multiple... Y'a-t-il des formules matricielles permettant de calculer directement les bornes de ces intervalles?

oui ... mais google is your friend ... google book aussi :
http://books.google.com/books?id=FHAm636BFOEC&lpg=PA265&dq=prediction%20interval%20multiple%20regression&pg=PA265#v=onepage&q=prediction%20interval%20multiple%20regression&f=false

Si tu fais une régression de type y~x+x& alors ça reste un modèle linéaire que tu peux estimer sous R et ainsi avoir les intervalles de prédiction.