Région définie par le produit de 2 intervalles de confiance

Bonjour,

Je me suis confronté au problème suivant:

Étant donné deux variables aléatoires X et Y supposées continues et dépendantes. mX et mY leurs moyennes réelles supposées inconnues. Nous avons construit un intervalle de confiance pour chacun de ces moyennes à 95%. On désigne par amX et amY les deux moyennes empiriques de X et Y obtenues après échantillonnage de taille N=1000.
Soient:
IC(X)=[Lx, Ux] de centre amX
et celui de mY est:
IC(Y)=[Ly, Uy] de centre amY

On définit ensuite la surface rectangulaire R(X,Y) définie par le produit cartésien de IC(X) et IC(Y) dans un plan (X,Y).

La question était de donner une interprétation de la région R?

Mon analyse est la suivante:

Si X et Y sont indépendantes, alors, R désigne une région du plan P telle que la probabilité que le point M(amX, amY) soit dans la région R avec une probabilité de:

Code:

Proba(M dans R) = 95% x 95% = 90.25%.

Dans le cas ou X et Y sont dépendantes (notre cas), on utilise l'inégalité de Bonferroni pour conclure que:

Code:

Proba(M dans R) = (1 - 2x0.05)*100% = 90%

Est-ce que mon analyse est correcte?
Qu'est-ce qui change si X et Y ne suivent pas la loi normale?
Qu'est-ce qui se passe si IC(X) et IC(Y) sont obtenus par Bootstrapping?

Merci pour votre aide.

Bonjour.

Qu'est-ce qui change si X et Y ne suivent pas la loi normale?

A aucun moment, précédemment, il n'a été question de Normalité de X ou Y. Donc il ne se passe rien, puisque c'est déjà à priori le cas.
Je ne comprends pas ton deuxième calcul, d'autant que l'inégalité de Bonferroni ne donne pas une égalité (et on devrait pouvoir retrouver le 90,25% comme cas particulier).

Cordialement.

Edit: erreur, je voulais dire: 1-a=90% selon l'inégalité de bonferroni.
La normalité de X et Y est supposée implicitement puisque les intervalles de confiance usuels exigentl hypothese de normalité de l'échantillon de base.

Attention,

la Normalité n'est pas supposée implicitement. Soit la variable est gaussienne, soit le nombre de valeurs est important, et dans ces deux cas on utilise la même règle (Une moyenne de nombreuses valeurs indépendantes d'une variable numérique suit quasiment une loi Normale.
dans ton cas, avec 1000 valeurs, pas de problème. Que X soit gaussienne ou non.
Ce qui compte, c'est que les moyennes soient gaussiennes (ou presque).

Je ne comprends toujours rien à cette égalité conséquence de l'inégalité de Bonferroni.