écriture probabiliste d'un MLG (modèle linéaire généralisé)

Bonjour,

On sait écrire le modèle linéaire gaussien de base en termes de variables aléatoires :

Y = beta_0 + beta_1 X1 + epsilon_i

Mais les modèles linéaires généralisés s'écrivent par une relation sur la moyenne des observations et les prédicteurs :

f(mu) = beta_0 + beta_1 X1

Par exemple pour quand les observations sont de Poisson, on prend souvent f = log. Comment écrire

Y = ...

où Y est la variable aléatoire de Poisson observée ? Est-ce possible

J'avais posé cette question lorsque j'étais étudiant et il me semble bien que ce n'est pas possible.

Dans le cadre d'un glm avec une loi de poisson tu peux ensuite écrire l'équation par rapport a y plutôt que par rapport au lien :
si tu as log(lamda) = b0 + b1*x
tu peux alors ecrire que y = exp(b0 + b1*x)
ça ne pose pas de problème tu peux aussi retrouver facilement le lien entre une probabilité par exemple et les paramètres dans le cadre d'une regression logistique.

micros corpus a écrit:Dans le cadre d'un glm avec une loi de poisson tu peux ensuite écrire l'équation par rapport a y plutôt que par rapport au lien :
si tu as log(lamda) = b0 + b1*x
tu peux alors ecrire que y = exp(b0 + b1*x)
ça ne pose pas de problème tu peux aussi retrouver facilement le lien entre une probabilité par exemple et les paramètres dans le cadre d'une regression logistique.

Ah bon ?

Un exemple avec le logiciel R :

Code:

x <- 0:30
# simulation de y
y <- exp(1.65228428+0.01479082*x+rnorm(31,0,0.2))
y <- round(y)
y
 [1]  5  6  6  5  6  6  6  6  5  7  6  8  8  7  8  8  5  7  7  6  5 10  7  8  7 12  6  7  8  5  8
glm1 <- glm(y~x,family="poisson")
summary(glm1)

Call:
glm(formula = y ~ x, family = "poisson")

Deviance Residuals:
    Min        1Q    Median        3Q      Max 
-1.09464  -0.29323  -0.01163  0.18369  1.49600 

Coefficients:
            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)   
(Intercept) 1.754009  0.140356  12.497  <2e-16 ***
x          0.010623  0.007718  1.376    0.169   
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    Null deviance: 10.021  on 30  degrees of freedom
Residual deviance:  8.121  on 29  degrees of freedom
AIC: 128.63

Number of Fisher Scoring iterations: 4


Donc ici l'équation sur le lien se traduit par log(lambda) = 1.75400913+0.01062344*x
Si on cherche les prédictions sur le lien on utlisera donc cette équation :

Code:

predict(glm1,type="link")[1:5]
      1        2        3        4        5
1.754009 1.764633 1.775256 1.785879 1.796503

# avec l'équation :
1.75400913+0.01062344*x[1:5]
[1] 1.754009 1.764633 1.775256 1.785879 1.796503


L'équation sur y se traduit elle par exp(log(lambda))= exp(1.75400913+0.01062344*x), soit lambda = exp(1.75400913+0.01062344*x) ou encore lambda = 5.77772*exp(0.01062344*x)

Code:

predict(glm1,type="response")[1:5]
      1        2        3        4        5
5.777720 5.839426 5.901792 5.964823 6.028528

# avec l'équation
5.77772*exp(0.01062344*x[1:5])
[1] 5.777720 5.839426 5.901792 5.964823 6.028528


Par contre ne pas oublier que la linéarité est sur le lien et non pas sur la variable que l'on modélise. Et ici il s'agit d'un modèle avec une loi de poisson et un lien log.

si tu as log(lamda) = b0 + b1*x
tu peux alors ecrire que y = exp(b0 + b1*x)

Euh non y est l'observation il faudrait un terme "d'erreur" comme le epsilon en régression.

Et je n'ai pas bien compris ce que tu as voulu illustrer...