Problème régression puissance sur données expérimentales

Bonjour à tous !

Je suis actuellement stagiaire dans un bureau d'étude et je me retrouve confronté à des soucis majeur d'analyse de données. En effet, après avoir demandé maintes et maintes fois à mon maitre de stage je n'ai toujours pas compris comment résoudre le soucis... J'espère suite à ce post que je me sorte de cette incompréhension pénible.

J'ai en ma possession un nuage de points que j'ai pu tirer au fil de mes expériences. Ce nuage de point peut comporter des points avec deux images et je sais que mon expérience se comporte selon l'équation X=A/(Y+B)^n où n est serait une variable permettant d'affiner le R² (donc la fiabilité de la courbe de tendance). J'ai déjà essayé de faire par la méthode des moindres carré mais à cause des points ayant deux images cela ne semble pas fonctionner.
J'ai donc utilisé la courbe de tendance linéaire d'Excel pour en tirer la fonction sous la forme y = ax + b. Par identification et après avoir tourné la relation on peut définir que y=Y ; x=X^(-1/n) ; a=A^(1/n) ; b=-B.

Le but de cette fonction X serait de la faire passer par chacun des points expérimentaux afin de trouver pour une image donnée un unique antécédent sur lequel je pourrai appliquer une loi de Weibull.

J'espère avoir été assez clair...

En espérant que quelqu'un saura m'aider à résoudre ce soucis...

Cordialement,

Tesla

Non, pas clair. Qu'est-ce que veux dire "des points avec deux images" ? Et que vient faire ici une loi de Weibull ?

Par ailleurs, que représente "y" ? Quelle distribution est supposée avoir cette variable ?

Vous devez expliquer les choses d'avantage, je pense.

Eric.

Je vais essayer d'apporter davantage de clarté :
Les points relevé concernent les expériences d'essais jusqu'à rupture d'échantillons.
Un point avec deux images signifie simplement que pour deux mesures effectué pour le même paramètre x j'ai obtenus deux ordonnées y différente... Dans mon cas précis pour la même force appliqué sur deux échantillons de même nature, la rupture ne s'es pas faite au même moment sur une variable de temps.
La loi de Weibull permet de déterminer sur une série de mesures la fiabilité de celle-ci étant une loi normale il est nécessaire d'avoir une référence que je peut trouver uniquement su j'arrive à faire une régression en fonction puissance de cette séries de points...
Pour parler de la distribution non pas de y puisque parler de la distribution de y n'as pas réellement de sens, mais des points relevés est en fonction de l'impureté du matériaux et de l'effort appliqué.

J'espère avoir apporté davantage d'explication afin que vous puissiez m'aider.

Tesla

Bonjour.

ne peux-tu pas utiliser un modèle Y=f(X), du genre Y=(X/A)^(1/n) -B ? Dans ce cas, le fait d'avoir deux points de même abscisse X ne pose pas problème.

Cordialement.

Bonjour gg,

En fait j'ai a et b de l'équation de tendance donné par excel mais lorsque j'implémente ça dans la relation qui est Y=(A/X)^(1/n)-B (Vous avez du inverser le A et le X lors de votre rédaction) et que je met cette relation sous la forme X=A/(Y+B)^n.
Mes valeurs actuelles de a et b doné par Excel me donnent a =-13 811 421,05 et b=2 282 593,26.
La courbe finale serait donc aussi simplement X = (-13 811 421,05^(-1/n))/(Y-2 282 593,26)^n ?
que deviens le x=X^(-1/n) dans ce cas?... j'ai vraiment du mal à comprendre cette transformation...

Merci encore pour votre réponse. Je suis malheureusement toujours bloqué...

Tesla

Si, parler de la distribution de y a un sens, et est même très probablement l'information primordiale dans cette question. C'est bien la distribution de la variable à expliquer qui va déterminer quel modèle à ajuster, ou plus précisément comment l'ajuster. Ce que vous appeler "équation de tendance donnée par excel" est en fait estimée par du moindre carré, ce qui implique de facto que la variable y suit une loi normale de variance indépendante de la valeur des x. Est-ce le cas ?

Par ailleurs, désolé, mais je n'ai toujours pas compris cette histoire "deux images". Est-ce que vous voulez dire que deux échantillons de même nature sont à chaque fois mesurés de manière indépendante ?

Eric.

Effectivement, j'ai inversé le A et le X. Ou encore, on peut écrire Y=(X/A)^(-1/n) -B .

Par contre, il n'y a aucune raison pour que la courbe modèle passe par les points du nuage ("Le but de cette fonction X serait de la faire passer par chacun des points expérimentaux") puisque justement, c'est un modèle approché. Qui considère que les valeurs expérimentales sont des valeurs entachées d'une petite erreur. D'ailleurs, puisque tu as deux valeurs parfois pour le même X (ou peut-être le même Y) c'est bien qu'aucune n'est "la bonne" !!

Je bloque moi aussi sur les 2 images.

Tu mesures des points de rupture. Donc pour chaque mesure tu casses la pièce. Je ne vois pas comment on peut casser une pièce puis la recasser une seconde fois.

Si tu fais 2 mesures sur 2 pièces d'un même lot, je comprends. Mais dans ce cas tu as 2 mesures. Pas 1 mesure "avec 2 images".

Eric, c'est en effet dans la définition même de distribution de la variable que j'ai un soucis... Même après avoir consulté les définition j'ai du mal à en saisir le sens exact et encore moins dans mon application actuelle.
Bon je vais donner plus d'éléments malgré le fait que ce soit normalement un projet interne à mon entreprise ne devant être divulgué. Ce sont en fait des test de durée de vie sur des pignons. La variable d'entré est le couple et la variable de sortie est le nombre de cycle. Seulement pour le même couple donné il peut y avoir une différence de plusieurs milliers de cycle entre deux tests. (pour répondre à votre interrogation sur "cette histoire "deux images"" et à c@ssoulet). C'est cependant bien ce dont j'avais précisé dans mon deuxième message "Un point avec deux images signifie simplement que pour deux mesures effectué pour le même paramètre x j'ai obtenus deux ordonnées y différente... Dans mon cas précis pour la même force appliqué sur deux échantillons de même nature"
Pour ce qui concerne votre autre question : "y suit une loi normale de variance indépendante de la valeur des x. Est-ce le cas ?" Je répondrait que oui puisque qu'il n'y a aucune répétabilité sur mes expérience mais qu'elle réagisse quand même selon une fonction puissance.

Pour répondre à gg, je dois donc faire glisser la courbe selon l'axe des y et la faire passer par chacun des points nuages pour en avoir un résultat des contraintes (ici le couple) selon un nombre de cycle normalisé de 5E+07. Et ce sont ces points là obtenu que je suis censé implémenter dans Weibull.

Je vous remercie encore pour vos réponses et j'espère avoir une fois de plus apporté des éléments à la réflexion.
Désolé pour le brouillard du début, mais travaillant sur un projet en vu d'un brevet, j'ai été réticent à donner certaines infos... Merci de votre compréhension.

Tesla.

Tesla a écrit: Un point avec deux images signifie simplement que pour deux mesures effectué pour le même paramètre x j'ai obtenus deux ordonnées y différente... Dans mon cas précis pour la même force appliqué sur deux échantillons de même nature

Cette histoire de "deux images" n'est vraiment pas claire, et je pense surtout que l'expression "deux images" induit en erreur. Rapidement, si les deux échantillons sont indépendants - ce qui semble être le cas dans l'explication que vous donnez - alors les points sur le graphe de régression sont juste des répétitions indépendantes, et la phrase que vous donniez au début ("J'ai déjà essayé de faire par la méthode des moindres carré mais à cause des points ayant deux images cela ne semble pas fonctionner") n'a pas de sens. Il y a bien ici quelque chose à clarifier. Les "deux images" représentent oui ou non des données indépendantes ?

Tesla a écrit:Pour ce qui concerne votre autre question : "y suit une loi normale de variance indépendante de la valeur des x. Est-ce le cas ?" Je répondrait que oui puisque qu'il n'y a aucune répétabilité sur mes expérience mais qu'elle réagisse quand même selon une fonction puissance.

Je vois une confusion ici. Je parle de la distribution statistique de la variable y. La distribution statistique n'a rien à voir avec la répétabilité de votre expérience. Vous dites à un autre endroit que y "est le nombre de cycles". Est-ce donc un comptage, auquel cas on serait supposé que la loi sous-jacente serait une loi de Poisson ? Ici aussi, il faut tirer ceci au clair.

En clair, je vois beaucoup de confusion dans vos explications (votre compréhension ?) de votre problème, et pas mal d’ambiguïté. Si les "deux images" sont des données indépendantes, et si y suit une loi normale de même variance, alors du moindre carré est la solution à votre problème, quelle que soit la fonction que vous ajusté à vos données.

Et juste pour rajouter un point qui me semble important : De grâce, évitez d'utiliser Excel pour ce genre de problèmes. Excel n'est pas un logiciel statistique (loin s'en faut), et même si on peut faire des régressions avec ce truc, on se retrouve dans l'incapacité d'en analyser les résultats correctement.

HTH, Eric.

Pour tenter de mieux m'exprimer ce que je veux dire que certains point d'abscisse ont deux images est à vrai dire faux dans le sens où ce sont bien deux expériences distinctes c'est à dire :
exemple expérience 1 : Couple d'entré : 1 Nm ; Rupture des pignons à 2E+07 cycle
exemple expérience 2 : Couple d'entré : 1 Nm ; Rupture des pignons à 4E+07 cycle
J'ai par conséquent, sur un nuage de points, deux points avec deux images différentes pour la même valeurs en abscisse. Et une régression linéaire par les moindres carrés nécessites (à ma connaissance) deux points avec des x distincts.

Oui cela pourrait en effet être une loi de poisson... dans ce cas il faudrait tourner les axes? mettre le nombre de cycle en abscisse et le couple en ordonnée? Puisque la loi de poisson est une loi de probabilité discrète.

Il y a en effet pas mal d'incompréhension dans mon sujet étant donné que je ne suis pas du tout habitué à faire des analyses d'expériences aussi poussé...

Je tacherai de ne plus utiliser Excel pour me donner des réponses toutes faites et automatisé alors.

Tesla

Tu te trompes,

on peut faire de la régression avec plusieurs ordonnées pour la même abscisse.

Cordialement.

Donc tous les points sont indépendants. Cessez donc d'utiliser cette expression "deux images" qui n'a guère de sens.

gg a raison, dans une regression, nul n'est besoin d'avoir des points avec tous des x différents. On peut faire des régressions avec des centaines de points par abscisse, si nécessaire. Pas de problème.

On peut faire des régressions sur des lois de Poisson. Pas besoin de "tourner les axes" (je ne comprends en fait pas cette expression). Une des caractéristiques de la loi de Poisson est qu'elle converge rapidement vers une loi normale lorsque sa moyenne augmente. Vous parlez de 2E+07 cycles. J'imagine donc que la moyenne est dans tous les cas très élevée. Est-ce le cas ? Si oui, on peut considérer que vous êtes dans le cas gaussien, et du moindre carré marche bien (i.e., sans biais). Il semblerait donc que vos essais dans ce sens seraient après tout corrects.

Eric.

Pourtant l'équation obtenue avec la méthode des moindres carrés me donne une courbe croissante alors que les résultats sont sensiblement décroissants. De plus la méthode des moindres carré ne me permet pas de trouver ma fameuse fonction puissance...
Malheureusement non mon graphique ne peut pas s'assimiler à une gaussienne puisque j'ai une fonction du type 1/x.

Je vous met en lien mon graphique lié à mes expériences, toujours dans le but d'apporter des détails :
https://i.servimg.com/u/f58/13/71/07/91/sans_t11.png

Tesla.

" l'équation obtenue avec la méthode des moindres carrés me donne une courbe croissante " ??? De quoi parles-tu ? La droite de régression est bien descendante.

N'importe comment, vu les données qui sont sur ton nuage, il n'y a aucune raison d'ajuster par une courbe. d'ailleurs les 4 points qui sont au milieu posent un problème puisque les deux d'abscisse supérieure sont nettement au dessus des deux autres. Et pourquoi 2 abscisses aussi proches ?

Cordialement.

Oui, enfin c'est la linéarisation par la méthode des moindres carré m'as donnée une courbe croissante.

Pourquoi n'y aurait il pas de raison d'ajuster par une courbe?
C'est un pur hasard si les 2 points d'abscisses sont aussi proche mais c'est lié au fait que les moteurs ne fournissent pas exactement les même couple pour le même courant d'entré.

Tesla

"Oui, enfin c'est la linéarisation par la méthode des moindres carré m'as donnée une courbe croissante" ? Je ne comprends toujours pas de quoi tu parles. la droite d'ajustement du nuage descend. Donc la méthode des moindres carrée a bien donné une fonction-modèle décroissante, elle est notée sur ton document.

"Pourquoi n'y aurait il pas de raison d'ajuster par une courbe? " Parce que le nuage n'est pas adapté et qu'il a trop peu de points. D'ailleurs il suffit de comparer la droite en pointillés et les points. Le R² dit la même chose : Le modèle n'est pas adapté.
peut-être n'est-ce dû qu'au hasard des mesures, entachées d'erreur fortes. Ou bien, je commence à me demander, au fait que ton nuage est celui des mesures brutes, qui n'ont pas un rapport linéaire : Ne confondrais-tu pas x et X, y et Y ???

NB : Un schéma sans signification des axes est toujours mauvais : On ne peut pas savoir de quoi il parle !!

Oui pardon, je parle des résultats calculé à la main qui ne figurent effectivement pas ici puisque ceci est la linéarisation d'Excel.

J'ignore si le modèle est adapté où non c'est mon maitre de stage docteur en matériaux qui m'a donné ces informations.
Oui les erreurs de mesures sont indéniables mais le système est déjà optimisé alors il est d'autant plus difficile d'augmenter la précision... Je ne pense pas confondre les x, X et les y, Y pourquoi donc?

Je corrige cela au plus vite : L'axe des ordonnées correspond au nombre de tour/cycle d'un pignon et l'axe des abscisse au couple appliqué.

Tesla

Tesla a écrit:De plus la méthode des moindres carré ne me permet pas de trouver ma fameuse fonction puissance... "

Pourquoi pas ?

Tesla a écrit:Malheureusement non mon graphique ne peut pas s'assimiler à une gaussienne puisque j'ai une fonction du type 1/x.

Encore une fois, je vois une confusion ici. La loi (gaussienne probablement) est la loi de distribution des valeurs en y. Ceci n'a rien à voir avec la/les fonction/s, les ajustements, etc.

Nous sommes dans une dialogue de sourds, et depuis pas mal d'échanges, ici. Je crains que ceci soit dû à des confusions de votre côté. Vous semblez avoir des a priori sur des bases statistiques qui semblent guère fondées. Je ne sais guère comment vous aider d'avantage, même si je le souhaiterais, et les remarques de gg semblent aller dans le même sens.

Que faire ?

Eric.

Puisque la méthodes des moindres carré me permet d'avoir d'autres points placé sur le graphique mais pas la fonction en elle même, non?

Oui j'ai très peu de bases dans le domaine de la statistique mais bien plus dans les math en générale et j'ai confondue fonction de gausse avec loi gaussienne qui est une loi normale et oui la distribution des valeurs en y est bien une loi normale selon mon maitre de stage.

Je suis effectivement désolé de vous causer autant de soucis par mon problème de part mon pauvre expérience dans le domaine statistique.

Je vais essayer de me débrouiller avec toutes les notions que vous avez évoqué dans les précédents message.

Merci encore de votre aide !

Tesla

Bonjour,

Mes 2c:

Le terme "d'image", n'est pas utilisé par le monde de la statistique. C'est un vocabulaire qu'on retrouve plutôt en maths associé à la notion d'antécédent. Je ne travaille plus ces notions depuis un moment mais je pense qu'une fois qu'on entre dans le champ de l'estimation stat, ça n'a plus de sens et notamment il n'y a plus cette notion d'unicité entre image et antécédent pour une fonction linéaire car les stat admettent la notion de variabilité comme intrinsèque.

Donc oui, tu peux, et il est même souhaitable que tu aies plusieurs valeurs de Y pour un même X. Cela permet d'estimer la variabilité de la valeur de Y pour un X donné et donc de qualifier la qualité d'ajustement du modèle (ton R²).

Autre point, le terme "linéaire" dans "régression linéaire" ne fait pas forcément référence à une représentation graphique par une droite. Donc libre à toi de rentrer des paramètres dans le modèles qui ne produiront pas une droite. Je ne suis pas sûr des paramètres que tu cherches à estimer dans ton modèle (c'est le A et le B ? juste le n?).

Si jamais tes paramètres ne sont pas linéairement intégré dans ton modèle, tu pourrais passer par une estimation non-linéaire directement sans passer par une linéarisation. Tu perdras par contre pas mal d'outils utiles pour évaluer la qualité du modèle.

il faut avant tout que tu sois au clair sur les 3 premiers § de mon message, qui comme le soulignent Eric et gg sont à la base de ton problème.

Nik

Bonjour Nik,

Je vous remercie grandement pour cette précision car en effet je ne savais pas que le terme d'image n'était pas employé en statistique...

En fait, je cherche à estimer n pour un R² le plus grand possible sur mes points expérimentaux... Mais ça c'est pour la suite parce que je n'arrive déjà même pas à trouver la fonction de régression associé aux points du nuage...

Quand vous dites "tes paramètres ne sont pas linéairement intégré dans ton modèle" qu'entendez-vous par "linéairement intégré" ?

Je vous remercie de votre réponse instructive !

Tesla

Tesla a écrit:Puisque la méthodes des moindres carré me permet d'avoir d'autres points placé sur le graphique mais pas la fonction en elle même, non?

Nous sommes au coeur de ce que plusieurs d'entre nous ne comprenons pas dans vos explications. Je ne comprends simplement pas cette phrase. La méthode des moindres carrés est une méthode d'estimation, c'est tout. Ca ne permet pas d'avoir d'autres points ou non. Pas clair -du tout !

en fait, je cherche à estimer n pour un R² le plus grand possible sur mes points expérimentaux... Mais ça c'est pour la suite parce que je n'arrive déjà même pas à trouver la fonction de régression associé aux points du nuage...

Ton équation tu sembles l'avoir trouvé, vu ton graphique. Il faut que tu nous dises ce qui ne te convient pas dans ce premier modèle car statistiquement c'est un modèle qui est valable. maintenant, du point de vue du praticien que tu es, il n'est peut être pas saitisfaisant car trop éloigné des points des données réelles. Donc oublie les notions de maths, et parlons, pour le moment, que de ce que tu souhaite faire.

Quand vous dites "tes paramètres ne sont pas linéairement intégré dans ton modèle" qu'entendez-vous par "linéairement intégré" ?

Pour être explicite :
- on voit souvent que l'équation (simple) d'un modèle linéaire est sous la forme : Y=aX+b.
- C'est exact mais c'est trompeur car l'équation Y=1/x + b est aussi un modèle linéaire si on considère qu'on a Y= a*1/x+ b. Les paramètres sont bien intégré de façon linéaire dans le modèle. Par contre : Y = 1/(aX) + b n'est pas un modèle linéaire selon les paramètres.

Pour répondre

à Eric :

Et bien au final après avoir utilisé la méthode des moindres carré pour minimiser l'écart des valeurs de Y, cela me permet-il de trouver la fonction de puissances sous forme f(x)=a/(x+b)^n ?

à Nik :

D'accord, donc ce que je souhaite faire c'est ramener cette fonction linéaire sous la forme : f(x)=a/(x+b)^n
après l'explication est assez compliqué alors je vais tacher d'être très explicite.
Pour avoir la pression de référence du matériaux qui lui est intrinsèque et impossible à définir autrement que par empiriquement, il faut que pour que je trouve la contrainte de couple associé à chacun des points expérimentaux pour 5E+07 cycles. pour se faire si je fait passer la fonction du type f(x)=a/(x+b)^n par chacun des points nuages en faisant glisser la fonction selon les axes des ordonnées j'obtiens la contrainte normalisé de chacun des points.
Voilà ce qu'à été dis par mon maitre de stage...

D'accord je vois de quoi il est retourne mais alors comment savoir si mes paramètres sont pas linéairement intégré ou pas ?

Tesla