loi bêta-binomiale

Bonjour,

Je cherche à analyser des données qui suivent vraisemblablement une loi bêta-binomiale. En effet, les variables analysées admettent 2 valeurs possibles (succès ou échec), sont indépendantes mais le paramètre p est variable (de façon aléatoire, suivant donc une loi bêta selon moi).

J'ai donc plusieurs questions:
me confirmez vous que le paramètre p de ma loi "globale" suit bien une loi bêta?
est-il possible de réaliser des tests statistiques sur une loi bêta-binomiale (encadrer une moyenne, une variance,etc...)? Si oui, connaissez-vous un logiciel permettant de faire cela? Le faire à la main est-il envisageable? (par approximation par une loi normale par exemple)

J'ai beau cherché sur google, je ne trouve pas réponse à ces questions, mais je ne suis peut-être pas très doué...
Merci de votre aide!

Bonjour,

Désolé mais je ne vois pas comment te répondre.
Je ne vois pas comment tu arrives à voir que ton paramètre suit une loi bêta d'autant que pour une beta-binomial il me semble que ce sont les erreurs qu'on suppose suivre une loi beta...mais je peux me tromper.

je ne comprends pas ce que réaliser des statistiques sur une beta-binomial veut dire...ou je ne sais pas d'où tu pars et du coup je ne vois pas où tu veux en venir.

Bref, détaille un peu plus le contexte de ta question, les données, les hypothèses et on pourra peut être t'en dire plus.

Nik

Dac je vais détailler alors.

Je cherche à analyser des mains jouées au poker. Les mains à analyser sont des mains jouées d'une certaine façon (à tapis) et contre 1 seul autre joueur, de sorte que seules les probabilités de gain/perte de la main influencent le résultat de la dite main. Ces "mains jouées à tapis" sont donc les données de mon échantillon.
Cette base de données est stockée dans 1 logiciel qui me calcule les infos suivantes:
1) sur l'ensemble des données, j'ai gagné 47% des mains (47% des données prennent la valeur "succès").
2) en réalité, si les probabilités théoriques de chaque main avaient été respectées, j'aurais du en gagner 50%.
2-bis) j'ai également accès à la probabilité de succès de chaque main (50% correspondant donc à la moyenne de ces probas de succès)

Ce que je cherche à savoir, c'est si cet écart de 3% est statistiquement significatif ou non.
J'ai donc défini ma variable aléatoire "résultat d'1 main jouée à tapis" comme étant une épreuve de Bernoulli.
Ces variables aléatoires sont indépendantes les une des autres, mais non identiquement distribuées puisque le paramètre p peut varier à chaque épreuve de bernoulli.
J'ai donc supposé que ce paramètre p suivait une loi bêta. Et donc que ma variable aléatoire suit une loi bêta-binomiale.
Connaissant la loi de ma variable aléatoire, je pourrais alors réaliser des tests statistiques et encadrer les paramètres de cette loi.

J'espère être clair (je précise que je ne suis pas statisticien, loin de là )

Personne pour m'aider à résoudre mon problème ?

Bon pour être honnête, je n'avais pas précisé dans mon 1er message que mes données concernait le poker car il y a beaucoup d'a priori sur ce jeu...
Si c'est pour ça que je n'ai plus de réponses, alors svp pouvez-vous oublier que l'on parle de poker et considérez que l'on essaye de résoudre un problème de stat quelconque?
Problème faisant potentiellement appel à une loi bêta-binomiale, donc si quelqu'un a des infos même purement théorique sur les tests statistiques possibles avec ce genre de loi, je suis preneur!

Sans trop se compliquer la tête, je vois deux solutions possibles :

1) Faire un chi2 de table de contingence tout bête aboutissant à une simple comparaison de pourcentage (puisque c'est en fait la question posée).

2) Traiter ceci avec une régression logistique, et regarder la qualité de l'ajustement. Au moins ca montrera si on s'éloigne tant que ça d'une simple loi binomiale.

HTH, Eric.

Merci Eric pour la réponse.

Pour la solution 1, je ne vois pas très bien comment construire 1 tableau de contingence. En effet, il n'aurait selon moi qu'une seule ligne à 2 colonnes: nbr de mains gagnées en réalité et nbr de mains gagnées en théorie.
Peut être que j'ai mal définie les données de mon échantillon:
Pour simplifier, on va dire que ma taille d'échantillon n = 100.
Pour chacune des 100 données, mon logiciel me donne 2 valeurs: le résultat de la main (succès ou échec) et la probabilité théorique de succès.
On peut dire que 47 et 50% correspondent à la ligne des totaux des 2 colonnes. 47% = nbr de mains gagnées en réalité, 50% = nbr de mains gagnées en théorie.

Du coup, je ne vois pas comment faire mon tableau de contingence uniquement avec ces totaux. Ou alors, si j'utilise l'ensemble des 100 données, mon tableau aurait dans la colonne "résultat réel" uniquement les valeurs 0 ou 1 (échec ou succès) et dans la colonne "résultat théorique" les valeurs correspondant aux proba théoriques de succès (0.2, 0.3, 0.7,...).
Est ce juste de faire un tel tableau?

Pour la solution 2, je ne comprends pas bien. Elle permettra de comparer mes pourcentages? Ou bien elle nous orientera sur la loi de probabilité suivie par ma variable?
(je ne maîtrise absolument pas cette notion de régression logistique, mais je vais essayer de me renseigner de mon côté )

Le tableau de contingence dont je parle a deux entrées, et chacune avec deux modalités. La première "réalité/théorique", et la seconde "gagnées/perdues". Ca conduit à une comparaison de pourcentage toute bête.

Oui, une régression logistique permet, entre autre, de comparer des pourcentages.

Si je peux me permettre une humble remarque, il me semble que ces deux outils de base (comparaison de pourcentage et régression logistique) doivent être compris et assimilés avant de se lancer dans des hypothèses compliquées de confrontation à des lois comme bêta-binomiale, etc. Ceci dit sans aucune agression de ma part..

HTH, Eric.

D'accord, je vais essayer de travailler de ce côté là alors!

J'ai tout de même une question plus générale sur les lois bêta et bêta-binomiales (j'anticipe un peu mais bon, au moins je suis fixé):
est-il possible d'approximer ces lois par une loi normale, grâce au TCL? Et plus généralement, est-il possible de réaliser des tests statistiques à partir de ces lois?

Autre chose: avez vous un logiciel à me conseiller pour réaliser des simulations et tests statistiques?

Merci pour vos réponses

Bonjour,

Désolé j'ai un peu oublié de suivre le message.

Tu peux toujorus tenter une approche par beta-binomiale mais pour moi (je rejoins ce qu'évoque Eric) il vaut mieux se baser sur les approches les plus simples.
Si tu souhaites te lancer dans la beta c'est plus sous un angle de sélection de modèle et du coup ce serait pour optimiser l'adéquation du modèle aux données.

Quand tu parles de "tests" nous allons te répondre par les termes "modèles" et "analyses" de variance. Il n'y a pas de test d'hypothèse directement associé à une distribution beta mais en fait on va plutot faire des hypothèses sur la qualité d'adéquation du modèle et du coup sur l'intérêt d'un paramètre ou un autre voire sur l'intérêt même d'avoir un paramètre fixé ou suivant une loi de distribution statistique.

En écrivant tout ça, j'ai un peu peur de te parler chinois car en général quand on demande s'il existe un "test" c'est que notre formation en stat est assez superficielle.

Pour le logiciel : R (gratuit, puissant, mais demandant un certain investissement initial en temps)

Nik

Ok merci pour la réponse!
Oui en effet tu me parles un peu chinois
Pour revenir sur la loi beta-binomiale (je me lancerai aussi dans un tests du Chi2, a priori c'est plus simple), si je réussis à calculer espérance et variance de ma loi (ce que je pense pouvoir faire avec les données que j'ai), que me reste t-il à faire pour réaliser un "test" sur ces paramètres?

Bonjour,

Pour l'espérance et la variance, tout sera géré par le logiciel. Pour le test des paramètre il s'agit "simplement" de réaliser l'analyse de variance du modèle qui te permettra alors de savoir si l'ajout d'un paramètre ou d'un autre permet une meilleure adéquation du modèle aux données.

Il n'est pas possible de te décrire ici les procédure de test sur les paramètres d'un modèle (trop long). Il faut que tu te penches sur des docs (tu en troueras facilement sur le net) traitant des modèles linéaires généralisés (GLM pour l'acronyme anglais) et ensuite revient vers nous si tu éprouves des difficultés de compréhension et/ou de mise en oeuvre sur un logiciel donné.

Nik

Bonjour,

D'accord Nik j'essaierai de bosser ça, mais ça m'a l'air bien complexe...

Pour revenir au test du khi2, j'ai donc fait un test d'adéquation entre ma valeur théorique (50% de succès) et ma valeur observée (47% de succès).
Sur mon échantillon de 2000 données, je trouve un khi2 = 7,2 (en prenant ddl = 1 et alpha = 0,05). Je peux donc rejeter H0 et conclure que mes distributions ne suivent pas la même loi au risque de 5%.

En parcourant un peu le net, quelques liens disent que le test du khi2 est un test non paramétrique qui ne tient pas compte des fluctuations d'échantillonnage. Et j'ai vu sur un forum une réponse d'un type qui disait que, de ce fait, plus on augmente n, plus on a de chances de trouver une différence statistiquement significative alors qu'elle n'existe pas en réalité.
Pour reformuler, il avait l'air de dire que ce test n'est pas forcément adapté/utile pour des échantillons de grande taille.
Qu'en pensez vous? Cela remet-il en cause les conclusions que je peux tirer de mon test?

Quel que soit le test, plus tu augmentes l'effectif plus tu augmentes la puissance. Plus un test est puissant plus il est à même de mettre en évidence de faibles écarts. Donc quand on a vraiment beaucoup de données on peut tout a fait mettre en évidence des différences statistiques qui n'ont aucune signification pratique.

De façon globale, le travail du statisticien ne s'arrete pas au simple calcul du p. Il faut ensuite exprimer en langage courant la signification des chiffres calculés, argumenter sur la cohérence des conclusions de ton travail par rapport à ce qui existe déjà, et replacer ces résultats dans le contexte général.

L'argumentaire sur l'effectif, la puissance, la discussion entre signification statistique et pratique fait partie de ce travail d'interprétation. Il n'y a pas vraiment de valeurs frontières chiffrées admises, c'est très fonction du problème étudié, des caractéristiques de l'échantillon étudié et des tests réalisés. Bref, c'est de l'expérience et c'est très difficile à faire lorsqu'on n'y connait pas grand chose.

Pour compléter la réponse pertinente de c@ssoulet :

La notion clef ici est la taille de l'effet ("effect size", en anglais; chercher "taille d'effet" sur google, par exemple). En gros - en tout cas dans l'exemple ici - c'est la différence entre les deux pourcentages. Ou bien cette taille d'effet est nulle, auquel cas augmenter à l'infini l'effectif conduira toujours à une différence non significative. Ou bien la taille de l'effet est non nulle (et - éventuellement ou non - très faible), et il suffira d'augmenter l'effectif et on finira toujours effectivement par trouver une différence significative. Maintenant, effectivement, la p-value ne suffit pas, il faut voir si la taille de l'effet a un sens ou pas par rapport à la question posée.

Eric.

Ok merci, je vais potasser un peu là-dessus.
Mais dans mon cas, on voit que la p-value est très faible (< 0,01). Du coup, statistiquement mon écart de 3% est très significatif.

Pour autant, on pense intuitivement que gagner 47% au lieu de 50% sur 2000 données, c'est un écart plutôt faible.
C'était un peu le sens caché de ma question: est ce que je dois me fier au test du khi2 ou à mon intuition pour tirer des conclusions?

D'abord le "niveau" de significativité n'est pas synonyme d'intensité importante de l'effet.
Ensuite un p<0.01 n'est pas "très faible". On dit communément qu'un résultat est "hautement significatif" pour un p < 0.0001

personnellement, je bannis complètement tout adjectif associé au terme "significatif". Un test est significatif ou pas au seuil X. il n'y a pas un peu ou de très significatif. Faut-il rappeler que la base de tout ça est la survenue d'un évènement A et en théorie des probabilités, un évènement existe ou non il n'y a pas de demi-mesure.
Si on souhaite introduire de la nuance dans la survenue d'un évènement alors il faut passer sur la théorie des possibilités par exemple.

Nik