Loi de probabiliuté d'un écart-type

Bonjour,

Dans le cadre d’une maitrise statistique des procédés, j’ai réalisé une application sur excel pour déterminer les limités de la carte de contrôle de l’écart-type, connaissant la taille des prélèvement « n » et la valeur connue de leur écart-type « s », et pour un risque choisi. Je tiens cette petite application à disposition qui utilise la fonction « KHIDEUX.INVERSE() ».

Maintenant, je voudrais la fonction réciproque : la loi de probabilité de l’écart-type, connaissant « n » et « s ». Autrement dit, quelle est la probabilité de trouver pour un prélèvement, un écart-type supérieur à une valeur choisie ?
Je sais que la variance suit une loi du Khideux à n-1 ddl, mais je ne sais pas écrire la formule avec excel.

Merci d’avance pour vos lumières
Gilles TIXIER

Bonjour,

tu dois pouvoir faire comme ceci :
=1-LOI.KHIDEUX.DROITE((N-1)*(s^2/sigma^2); N-1)

cdlt

Droopy,
Merci pour ta réponse.
Mais si je fais s = sigma, la probabilité est de 53% (avec n= 30). Je me serais attendu à 50%.
Je peux t'envoyer l'application excel mais il faudrait me communiquer ton adresse mail

Bonjour,

la loi du khi-deux étant asymétrique je pense que le 53% n'est pas anormal (on peut d'ailleurs tracer la fonction de densité avec LOI.KHIDEUX.N(29*{valeur};29;FAUX)).

Par contre par rapport à la formule Excel, j'aurai pas mis à "1-".
Ca me semble plus sensé d'écrire :

=LOI.KHIDEUX.DROITE((N-1)*(s^2/sigma^2); N-1)

et le 53% est en fait un 47%...

=LOI.KHIDEUX.N(29*1;29;VRAI) renvoie d'ailleurs le 53% et donc
=1-LOI.KHIDEUX.N(29*1;29;VRAI) nous donne le complémentaire.

Niaboc

Merci Niaboc pour ta réponse.

Il y a quelque chose qui ne colle pas. J’ai du mal m’exprimer, je reprends ma problématique.
Dans le cadre d’une maitrise statistique des procédés, j’ai réalisé une application sur excel pour déterminer les limités de la carte de contrôle de l’écart-type « sigma », connaissant la taille des prélèvement « n » et la valeur connue de leur écart-type « s », et pour un risque choisi. Pour la limite supérieure de la carte de contrôle de l’écart-type, la formule est la suivante :
=(Sigma/RACINE(n))*RACINE(KHIDEUX.INVERSE(risque/2;n-1))
Avec n=30, Sigma = 1 et risque bilatéral = 5%, la limite supérieure est 1,23.
Cette formule est donnée dans un ouvrage de Saporta avec un exemple qui m’a permis de valider mon application.

Maintenant, je voudrais la fonction réciproque : la loi de probabilité de l’écart-type, connaissant « n » et « s ». Autrement dit, quelle est la probabilité de trouver pour un prélèvement, un écart-type supérieur à une valeur choisie ?
Avec s=1,23 et n=30 et utilisant la formule que tu m’as donnée : LOI.KHIDEUX.DROITE((N-1)*(s^2/sigma^2); N-1) - Soit LOI.KHIDEUX.DROITE((29)*(1,23^2/1^2); 29),
j’obtiens une probabilité de 3,77%, différent des 2,5% auxquels je m’attendrais.

Entre temps, j’ai trouvé la réponse dans l’annexe de la norme NF X 06-031 mais sous forme d’abaque, et sans la formule sous-jacente que je recherche
Un exemple : avec n=10 et un rapport s/sigma = 2, la probabilité unilatérale à droite est de 28,7%

Merci d’avance pour vos lumières.

Bonjour,

je pense juste qu'il y a une différence de définition, en particulier au niveau du s. Saporta utilise la variance non corrigée, alors que Droopy a proposé la même formule, mais à partir de la variance corrigée.

Donc, à partir de ton exemple :
=1/RACINE(30)*RACINE(KHIDEUX.INVERSE(0.05/2;29))
on a bien 1.2345
et
=LOI.KHIDEUX.DROITE((30)*(1.2345^2); 29)
renvoie bien 2.5%

et avec la variance estimée corrigée ( s*racine(n)/racine(n-1) ) :
=1/RACINE(29)*RACINE(KHIDEUX.INVERSE(0.05/2;29))
renvoie 1.2556, qui correpond bien à 1.2345*RACINE(30/29)
et
=LOI.KHIDEUX.DROITE((29)*(1.2556^2); 29)
renvoie bien 2.5%

et on retrouve le 3.77% (mais qui n'a pas de sens ici), en reprenant la précédente formule et en utilisant la variance non corrigée de 1.23
=LOI.KHIDEUX.DROITE((29)*(1.23^2); 29)

J'espère être clair (et correct dans mon raisonnnement :-) )

Niaboc

Merci Niaboc et Droopy pour vos réponses, c’est bien clair.

Maintenant j’ai mis à jour mon application sur tableur
Une fois avec la variance non corrigée, une fois avec la variance corrigée.
Elle est à disposition à qui s’y intéresse ; me contacter en mode privé.

Une question encore : dans la situation où l’écart-type cible est connu avec beaucoup de mesures, est-il nécessaire d’utiliser les formules avec la variance corrigée ? Ou bien ça n’a rien à voir ?
Quelle est la version la plus appropriée ?

Merci d’avance pour vos lumières.

Par défaut j'utiliserais la variance corrigée pour travailler avec un estimateur non biaisé.

Niaboc

Merci, Niaboc

Bonjour,

effectivement le "1-" n'avait pas lieu d'être quand on s'intéresse a la probabilité d'obtenir une valeur supérieure.

niaboc a écrit:Par défaut j'utiliserais la variance corrigée pour travailler avec un estimateur non biaisé.

Niaboc

Et ben je n'en suis pas aussi convaincu et je rejoins la remarque de Gilles par rapport a Saporta.

En faisant un très grand nombre de simulations, les valeurs de quantiles les plus proches des valeurs théoriques sont obtenues quand l'écart-type est divisé par N et non N-1, en considérant que la moyenne est connue.

cdlt

Merci Niaboc et Droopy,
Pour début Septembre, j'attends une réponse au sujet de la variance à corriger ou non (surement en fonction du contexte). À bientôt.