Espérance et variance d'une partie de Pile Face

Bonjour,

Je prépare un support de formation et j'aimerai illustrer la loi des grands nombres en reprenant l'exemple de loterie Pile Face suivante :
"Je lance n fois une pièce équilibrée. A chaque fois que je fais Pile je gagne 1€, à chaque fois que c'est face qui sort je perds 1€".

Pour le calcule de l'espérance qui est nulle en partant d'une Binomiale, pas de problème.
En revanche, je bute sur le calcul littéral de la variance...ça la fout mal.

Quelqu'un peut-il m'aider svp ?

Bien cordialement,

Bonsoir.

Pour une variable X de moyenne m, la variance est l'espérance de (X-m)². Dans ton cas, c'est particulièrement simple : Quelles valeurs prend X² ? Avec quelle probabilité ?

Cordialement.

Bonjour,

Tout d'abord, merci pour ce rappel de la formule de la Variance...que pour le coup je n'avais pas oubliée.
Je suis aussi content d'apprendre que c'est un problème simple pour toi car ainsi, si tu le veux bien, tu vas pouvoir m'aider.

La valeur de la proba est égale à 1/2 puisque le jeu se déroule avec une pièce équilibrée mais là n'est pas la question il me semble...

#pile ~ B(n,p) avec n nombre de lancers donc E(#pile)=np et Var(#pile)=npq avec q=1-p

En revanche, ça se complique (pour moi), lorsque je passe au gain :

E(gain) = n(1*p + (-1)*q) = n(p -1 + p) = n(2p - 1) <- ça te semble correct ?

Pour calculer Var(gain) je pensais utiliser la décomposition Var(gain) = E(gain²) - E²(gain)

E(gain²) = n[1²*p + (-1)²*q] = n[p + 1 - p] = n <- Idem ?

D'où :

Var(gain) = n - n²[(2p-1)²] = n - n²[4p² + 1 - 4p] <- j'ai un gros doute (cf. ci-dessous)

AN :

P = 0,5
n = 10

E(gain) = 10(2*0.5 - 1) = 0 <- il me parait logique que l'espérance de cette loterie soit nulle (quelque soit le nombre de lancers d'ailleurs)

En revanche :
Var(gain) = 10 - 100[4*0.25 + 1 - 4*0.5] = 10 = n quelque soit n (si p=0.5).
Il ne m’apparaît pas logique que la variance soit croissante du nombre de lancers...et les simulations que j'ai réalisées sous
Excel me donnent toujours une variance des gains aux alentours de 1...

Peux-tu m'aider pour ce problème (et je te prie de m'excuser s'il est trop facile) ?

Bien cordialement,

Il est clair que j''ai un problème de facteur n.

Si tu prends l'exemple d'une partie équilibrée 5P/5F suivante tu as :

# Pile G/P Écart Écart²
1 1 1 1 1
2 1 1 1 1
3 1 1 1 1
4 1 1 1 1
5 1 1 1 1
6 0 -1 -1 1
7 0 -1 -1 1
8 0 -1 -1 1
9 0 -1 -1 1
10 0 -1 -1 1
Total 5 0 0 10

Par définition :
Var(Gains)=1/N*somme(Écart²)=1/10*10=1 i.e. ce que je trouve sous Excel...

Mais ma démonstration littérale est faisandée...

Bonjour.

J'ai l'impression que tu te compliques la vie. La méthode brutale est de remarquer que, la moyenne étant nulle, V(X)=E(X²). Bien entendu, j'appelle ici X le gain. Ses valeurs sont -n, -(n-2), -(n-4), ... (n-4), (n-2), n, avec les probabilités données par la loi binomiale (on suppose l'indépendance des résultats des lancers). Donc les valeurs de X² sont (-n)², (-(n-1))², ..(-2)², (-1)², 0², 1², 2², ...(n-1)², n². Avec les mêmes probabilités. Donc
V(X)= etc.
Ce calcul est assez pénible (et ce forum n'est pas agréable pour écrire des maths). On va utiliser une idée simple : Puisque les lancers sont indépendants, les variances des lancers s'additionnent :
V(X)=V(X1)+V(X2)+...+V(Xn) où X1 est le résultat du premier lancer, X2 celui du deuxième, etc.
Or ces variances sont toutes égales, et V(X1)=E(X1²) =(-1)²*1/2+1²*1/2 = 1
Donc V(x) =n.

Voilà, je n'ai rien inventé, c'est une preuve classique.

Cordialement.

Merci gg, c'est en effet limpide ainsi.
Comme quoi il faut faire attention à ne pas trop se fier à son instinct ni aux simulation sous Excel car au final j'avais bien trouvé, lorsque p=0.5, E(gain)=0 et Var(gain)=n...