probabilité et tirage aléatoire avec remise

Bonjour!

Je cherche à mettre en évidence l'indépendance d'échantillons pris dans la même population. Pour cela, je sais que la population est de 500 individus, que mes échantillons sont composées de 30 individus issus de cette population. Dans ce cas, je possède une urne avec 500 boules, où je tire aléatoirement 30 boules à chaque tirage. Je réalise 6 tirages. Chaque tirage est considéré avec remise, car les boules sont réinsérés dans l'urne après chaque tirage. Quelle est la probabilité (si il est possible de la calculer!) de tirer au moins deux fois une même boule, n'importe laquelle au cours l'expérience (donc au bout de 6 tirages)?
Si la probabilité de tirer plusieurs fois la ou les mêmes boules est importante, alors j'aurai des échantillons appariés puisque j'étudie le même individus dans le temps, et inversement...

Je ne suis pas très forte en calcul de probabilité (voire nulle, étant donné que cela fait 10 ans que je n'en ai pas utilisé et qu'à l'époque je n'y comprenait déjà pas grand chose!!!) et je n'arrive pas mettre en place l'équation nécessaire pour cette proba. Mon raisonnement pour l'indépendance est il juste? J'aurai besoin donc d'un gros coup de pouce SVP!

Merci beaucoup!

Bonjour.

Si la probabilité de tirer plusieurs fois la ou les mêmes boules est importante, alors j'aurai des échantillons appariés

Non, les échantillons sont toujours indépendants (sans les regarder de près, on ne peut pas dire s'il y a un individu commun ou pas).
Et apparié veut dire tout autre chose. Deux échantillons sont appariés quand à chacune des valeurs du premier on peut attribuer une valeur unique du deuxième de façon non arbitraire. Par exemple répétition de la même expérience sur le même échantillon d'individus, mesures refaites au même endroit, comparaison des résultats sur des jumeaux, etc.

Sinon, pour la probabilité, la probabilité inverse est plus simple à calculer : Celle de ne pas tirer 2 fois le même individu. cela revient à faire un tirage de 180 individus différents lors d'un tirage avec remise de 180 fois parmi 500 individus. En faisant des tirages ordonnés, le nombre de tirages possibles est 500^180, le nombre de tirages favorables est A(500, 180), la probabilité que tu cherches est 1-A(500,180)/(500^180).
Maple me dit que le quotient A(500,180)/(500^180) est de l'ordre de 9*10^(-15), donc la probabilité d'avoir au mois une fois le même individu est 1 à tellement peu près qu'il n'est pas utile d'en parler.
mais ce n'est pas la probabilité d'avoir un même individu dans deux échantillons différents, puisqu'on a utilisé aussi les cas où le même individu est pris 2 fois dans un seul échantillon. Cependant, ça change peut-être d'un ou 2 ordres de grandeur, et qu'on ait 10^(-13) ou 10^(-15), dans les deux cas, c'est sans intérêt.
Et ça ne donne pas des échantillons appariés !

Cordialement.

merci pour cette réponse... Même si j'ai pas tout compris... La probabilité d'observer le même individu dans 2 échantillons ou dans un même échantillon est donc de 9 10^-15?
Je peux donc considérer que mes échantillons sont indépendants même s'il ont été réalisés sur la même zone d'étude, puisque j'ai très peu de chance de mesurer le même individu.

Merci encore pour toutes tes réponses.
Cordialement.

Ah non,

tu as compris à l'envers :

"donc la probabilité d'avoir au mois une fois le même individu est 1 à tellement peu près qu'il n'est pas utile d'en parler."

une probabilité à 1 est une quasi certitude. Tu as plus de chances de prendre un avion sur la tête que de n'avoir que des individus différents dans tes échantillons.

Mais cependant, tes échantillons sont indépendants si tu les tire indépendamment au hasard; ça n'a rien à voir avec le fait de reprendre le même individu.

Cordialement.

NB : Si tu utilises cela dans ton travail, tu ferais bien de refaire une formation en probas/stats; éventuellement en apprenant seul, comme je l'ai fait moi-même.

OK, merci.
Oui effectivement, j'envisage de travailler mes proba et mes stats, seule... Et un peu avec vous! Le temps me manque en ce moment...

Cordialement