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Message par Layss le Jeu 24 Nov 2011 - 18:31

Bonjour à tous, je sollicite votre aide pour éclaircir certains points du sujet de probabilité qui m'a été posé.

Voici l'énoncé:

Nous avons une population de 300 personnes invitées. On sait que seulement 90% de ces personnes viendront. De plus, il y a 40% de chance qu’un individu présent achète un verre à boire.
La boisson doit être préparée à l’avance (on cherche à satisfaire tous les présents qui souhaitent boire sans faire 300 boissons).
1. Quel est le nombre de boissons à faire pour qu’on ait i=80% de chance que ceux souhaitant boire puissent avoir à boire.

Le prix d’une boisson est de a=20€. On cherche à rembourser tous les frais (sans forcément faire de bénéfice).
2. Quel doit être le coût de revient d’une seule boisson pour qu’il y ait 99% de chances que la recette du bar paye tous les frais occasionnés par le bar ?

A la fin de la journée, les organisateurs veulent profiter des restes pour festoyer un petit peu.
3. Combien de boissons x peuvent-ils espérer avoir ?
4. Quelle est la probabilité qu’ils aient exactement x boissons ?
5. Quelle est la probabilité qu’ils aient plus de x boissons ?

Les organisateurs sont M=20 personnes souhaitant pouvoir boire à leurs soifs en fin de journée. Ils vont faire en sorte que l’espérance x = M. Pour cela, ils doivent modifier la variable i (du (1)) en prétextant qu’ils se doivent d’assurer la satisfaction de ses clients.
6. Quelle valeur de i doivent-t-ils choisir ?



1/ J'ai résolu la première question à l'aide d'une approximation de la loi binomiale par une loi normale centrée réduite et j'ai trouvé qu'il faut prévoir 116 boissons.

2/ La question deux m'a posé plus de problèmes mais j'ai fini par effectuer ce raisonnement:
r = le coût de revient d'une boisson

charges = 116*r

On pose Y = VA qui compte le nombre de gens qui boivent

On veut donc trouver p( 116*r < 20 * Y) = 0.99

p( Y > 5.8*r) = 0.99

1- p ( Y =< 5.8*r ) = 0.99

Sachant que la moyenne des buveurs est de n*p = 300*0.36 = 108

L'écart type est alors de 8.31

1- p( T =< (5.8r - 108 + 0.5)/8.31 ) = 0.99

soit (5.8r - 108.5)/8.31 = -2.33

d'où r = 15.37

Mais après cela, je n'ai absolument aucune idée pour la question 3 et les suivantes...

Je vous remercie par avance de l'attention que vous pourrez porter à mon exercice.


Layss

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Message par gg le Jeu 24 Nov 2011 - 18:47

Bonsoir.

Que de suppositions à faire pour traiter cet exercice ! par exemple, il ne semble pas prévu qu'un personne achète deux boissons !

Pour la 3 , la 4 et la 5, j'imagine que le "espérer" est là pour dire qu'on utilise la moyenne (espérance mathématique) comme estimateur de la variable. Donc dans la 4, on cherche le nombre moyen de boissons restantes, la différence entre le nombre choisi et la moyenne des boissons consommées.

Bon travail.

gg

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Message par Layss le Jeu 24 Nov 2011 - 19:39

Je valide que l'exercice manque quelques peu de précision. Je pense travailler en posant pour hypothèse que l'on ne sert qu'une boisson par personne.

Merci pour cet éclaircissement, je vais travailler dessus et vous faire part de mon avancée s'il vous le voulait bien, en effet, je ne brille pas dans la matière...

Bonne soirée.

Layss

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Message par Layss le Ven 25 Nov 2011 - 21:42

3/ x=8 puisque l'espérance du nombre de buveurs est 108 et que l'on fait 116 boissons. non?


4/ Pour qu'il reste exactement 8 boissons, il faut que le nombre de buveurs soit égal à 108 soit Y=108
D'après la loi binomiale je trouve environ P(Y=108) = 0,0479


5/ Pour que les organisateurs aient plus de 8 boissons, il faut que Y<108 soit T<0 donc la probabilité est 0,5 (lecture inverse de la table de la loi normale)

6/ On a:
x - 108 = 20

x = 20 + 108

a = 128

On pose T= (Y - 108) / 8,31 environ = 2,41

Soit par lecture inverse de la table: p( T < 128 ) = 0.992 soit 99.2%


Avez-vous des objections ou des conseils ?

Merci.

Layss

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Message par gg le Sam 26 Nov 2011 - 10:42

Bonjour.

Je viens de reprendre le problème (je n'avais pas fait les calculs). Je trouve 115 à la première question (moyenne 108, écart type 8,05 et valeur de la table 0,85 pour une proba de 80% pour 90% de présents effectifs, ou bien si 90% est une proba, 115,07, donc 115 avec un écart type de 8,31). Tu as choisi la deuxième solution, et il me semble que tu fais systématiquement la correction de continuité. Donc ton calcul me semble sain. Donc 116.

La suite de ce que tu as fait me convient (je n'ai pas vérifié les calculs, faute de temps aujourd'hui).

Cordialement.


gg

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Message par Layss le Lun 5 Déc 2011 - 12:55

Veuillez m'excuser du temps de réponse.

Je vous remercie vivement de votre aide. Bonne continuation !

Layss

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