Variance d'une double somme?

Bonjour,

J'aimerai calculer la variance d'une double somme de variable aléatoire, telle que :

y = Somme(de k=1 à K) (Somme(de i=1 à I) wki.aki)
Les variables aléatoires sont dépendantes entre elles.
wki sont des variables indicatrices codés en 0/1/2 et aki sont des scalaires.
Je sais que pour un couple (k,i) donné je peux écrire var(wki.aki) = 2p[ki]q[ki].(aki)²
avec pki : la fréquence de la modalité "2" et qki = 1-pki

Comment écrire var(y)?
Merci d'avance pour vos réponses,
Cordialement,

Nicolas.

Bonjour.

Si les variables aléatoires sont globalement indépendantes, il est possible de calculer la variance globale. Mais pour des variables dépendantes, il faut aussi connaître la loi conjointe.

Mais Y est-il bien la somme de produits de variables aléatoires ? Peux-tu préciser le contexte ?

Cordialement.

Bonjour,

Le contexte est le suivant :
y est un vecteur d'observations que l'on cherche à expliquer par plusieurs variables (qui correspondent à des gènes, il y a K gènes). Pour chaque gènes il y a plusieurs modalités (I modalités pour chaque gènes). Chacune des modalités a un effet ''a'' sur y. Pour un gène donné, les modalités sont dépendantes. On a une variable indicatrice w pour chaque modalité de chaque gène qui permet de relier l'observation y à la modalité i du gène k. w est codé en 0,1,2 qui sont des nombres correspondants à la dose de la modalité que porte l'individu. (par exemple : w=2 signifie que l'individu porte 2 fois la modalité i au gène k.)
Ma question est : comment écrire la variance de y? Mais y n'est pas une somme de produits de variables aléatoires.
y est la somme des effets des modalités de l'ensemble des gènes.
j'espère être assez clair.
Merci.

Nicolas.

Ok.

Je ne suis pas assez fort en génétique pour comprendre pourquoi on peut additionner (ni pourquoi un modèle linéaire pourrait être pertinent), mais j'ai l'impression qu'il s'agit de travailler avec des vecteurs aléatoires. Ou peut-être même pas : En relisant ce que tu dis, je comprends que les wik sont des constantes et les $aik$ (effets) aussi. Donc la somme est constante, et la variance est nulle. Mais sans doute n'ai-je pas compris.
Donc qu'est-ce qui est aléatoire ?

Les variables indicatrices w sont aléatoires. Il est facile de calculer la variance d'une variable w (la formule est connue). a est effectivement une constante. On écrit que var(wa) = a²var(w).
pour s'implifier le problème : je cherche à écrire, pour un gène donné (donc un k donné) la variance de la somme des différentes modalités du gène. Soit par exemple pour un gène à 2 modalités :
var(a1²var(w1) + a2²var(w2))?
Je connait l'expression des var(w), mais où les covariances interviennent-elles?
Faut-il absolument connaitre la loi conjointe?
Merci.
Nicolas.

Oui, malheureusement.

Pour deux variables X et Y, var(X+Y) = Var(x)+var(Y) +2 cov(XY) comme on s'en rend compte facilement en utilisant Var(Z)=E(Z²)-E(Z)². Pour plus de 2, il vaut mieux considérer qu'on a un vecteur aléatoire et définir la matrice de variance-covariance, mais il y a des formules analogues.

En tout cas, les var(w) ne suffisent pas. sauf si les w sont décorrélés.

Cordialement.