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Probabilités conditionnelles

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Message par calissai le Ven 19 Oct 2007 - 11:44

Bonjour, j'ai un exos sur le probabilité conditionnelle que je tente de résoudre, en voici l'énoncé :

Le dépistage de l’hyperthyroïdie s’effectue par un test basé sur le dosage de la THS. Les résultats sont les suivants : chez les malades, 95 % de tests sont positifs et 5 % négatifs, chez les non malades, 99 % de tests sont négatifs et 1 % positifs. Sachant que la prévalence de l’hyperthyroïdie dans la population est de 1,5 %, déterminez :
1. La probabilité d’être malade sachant que le test est positif,
2. La probabilité de ne pas être malade sachant que le test est négatif.

J'ai essayer de le faire et voici ce que j'ai obtenu pour la première question:

Soit M+ = malade, M- = non
malade, T+ = test positif, T- = test négatif.

D’après les données de
l’exercice :

P ( T+ int M+) = 0,95

P ( T+ int M-) = 0,01

P ( T- int M+) = 0,05

P ( T- int M-) = 0,99

int = intervalle

Et : P ( M+ ) = 0,015

D’où : P( M- ) = P (Ω) – P(
M+) = 1 – 0,015 = 0,995

Si on développe les formules :

P ( T+ int M+) = P ( T+ / M+) * P ( M+ )

P ( T+ int M-) = P ( T+ / M-) * P ( M- )

P ( T- int M+) = P ( T- / M+) * P ( M+ )

P ( T- int M-) = P ( T- / M-) * P ( M- )


On cherche : P ( M+ / T+ )

Par définition, on a :

P (M+ / T+) = (P (T+ / M+) * P (M+) ) / (P (T + / M +) * P (M +) + P (T+ / M-) * P (M -)

= 98%

Es-ce juste ?

Merci ^^

calissai

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Message par Madoka le Ven 19 Oct 2007 - 12:20

Bonjour,

Ouh la la les probabilités comme ca, ca me rappelle de lointains souvenirs !
Alors, si j'essaie de faire ton exo, voilà comment je procède (attention, je ne suis pas sûre de mes résultats, donc j'attends vos remarques Embarassed ) :

P(M+ / T+) = P(M+ int T+) / P(T+)

On a P(M+ int T+) = 0,95 d'après l'énoncé.

Pour avoir P(T+), j'écris :
P(T+) = P(T+ int Ω) = P(T+ int (M+ U M-)) = P((T+ int M+) U (T+ int M-)) = P(T+ int M+) + P(T+ int M-) car les événements sont disjoints.

D'où P(T+) = 0,95+0,01=0,96
Donc P(M+ / T+) = 0,95/0,96 = 99% environ...

Je n'ai pas apparemment le même résultat que toi calissai...
Mais c'est peut-être toi qui as raison ! Laughing
Attendons la réponse de quelqu'un d'autre ! Wink
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Message par Jonathan le Ven 19 Oct 2007 - 18:11

Bonjour!

Je ne voudrais pas passé pour celui qui croit qu'il a plus raison que les autres, mais je crois que d'après l'énoncé, on a plutôt que:

P(T+ | M+) = 0.95 et non P ( T+ int M+) = 0.95 car il aurait alors fallu dire: Parmi la population totale, il y en a 95% qui sont malades et qui on obtenu un test positif, ce qui n'est pas la même chose.

De même,

P(T- | M+) = 0.05
P(T- | M-) = 0.99
P(T+ | M-) = 0.01
P(M+) = 0.015

Pour le problème 1, on cherche à savoir P(M+ | T+)

- On a P(T+ inter M+) = P(T+ | M+)*P(M+) = 0.95*0.015 = 0.01425

- On a P(T+ inter M-) = P(T+ | M-)*P(M-) = 0.01*(1-0.015) =
0.00985

On peut maintenant calculer P(T+) = P(T+ inter M+) + P(T+ inter M-) = 0.0241

P(M+ | T+) = P(T+ inter M+) / P(T+) = 0.01425 / 0.0241 = 0.5913 = 59.13%

Pour le problème 2, on cherche à savoir P(M- | T-)

- On a P(T- inter M-) = P(T- | M-)*P(M-) = 0.99*(1-0.015) = 0.9752

- On a P(T- inter M+) = P(T- | M+)*P(M+) = 0.05*0.015 =
0.00075

On peut maintenant calculer P(T-) = P(T- inter M+) + P(T-
inter M-) = 0.976

P(M- | T-) = P(T- inter M-) / P(T-) = 0.9752 / 0.976 =
0.9992 = 99.92%


Quelqu'un peut confirmer?
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Message par Madoka le Ven 19 Oct 2007 - 20:25

Bonne remarque Jonathan...

Jonathan a écrit:on a plutôt que:

P(T+ | M+) = 0.95 et non P ( T+ int M+) = 0.95

C'est vrai que je n'avais pas vérifié la traduction de l'énoncé par calissai...J'ai directement pris ses notations, mais tu as peut-être raison en effet...

C'est prise de tête les probas scratch lol!
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Message par Jonathan le Ven 19 Oct 2007 - 23:48

Very Happy

Ça me rappel mes premiers cours de proba...

Souvent, ce n'était pas le calcul qui était difficicile, mais c'était de bien interpréter l'énoncé.
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Message par calissai le Sam 20 Oct 2007 - 17:44

Après avoir refait les exos, je trouve les mêmes résultats que toi, mais je trouve bizarre que la probabilité de P(M+/T+) soit seulement de 59 % !!!

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Message par khmed le Sam 20 Oct 2007 - 20:43

Il s'agit d'une application directe de la formule de Bayes
on a bien:
P (M+ / T+) = (P (T+ / M+) * P (M+) ) / (P (T + / M +) * P (M +) + P (T+ / M-) * P (M -)=0,588
avec
P ( T+ / M+) = 0,95
P ( T+ / M-) = 0,01
P ( T- / M+) = 0,05
P ( T- / M-) = 0,99

P ( M+ ) = 0,015
P ( M- ) = 0,995
Le résultat est logique puisque P ( M+ ) = 0,015 (seulement)

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Message par medeciline le Sam 27 Aoû 2011 - 21:30

J'ai vu ton exercice j'ai essayer de le résoudre Smile



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facmed-sba.com/t3653-exercice-probabilites-conditionnelles#27955


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Message par pjleroux le Sam 27 Aoû 2011 - 21:30

Le membre 'medeciline' a effectué l'action suivante : Lancer de dés

#1 '6' :
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#1 Résultat :
Probabilités conditionnelles De6 Probabilités conditionnelles De4

--------------------------------

#2 '6' :
Probabilités conditionnelles De6
#2 Résultat :
Probabilités conditionnelles De5 Probabilités conditionnelles De6 Probabilités conditionnelles De4 Probabilités conditionnelles De1
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