Questions sur les composantes principales d'une ACP

Bonjour,

J'ai une question de l'ordre de l'interprétation concernant les composantes principales d'une ACP et de l'inertie.

Tout d'abord, les composantes principales représentent elles rarement, souvent, toujours un phénomène réel ? (typiquement, l'effet taille est une propriété de l'espace propre généré mais correspond à une réalité qui est un "effet taille" justement).

Peut-on à partir des composantes principales extraire des phénomènes fondamentaux qui régissent nos données afin de les comprendre directement à la source.

Enfin, l'inertie portée par chacune des composantes représente bien la variance de l'information ? Ce que j'entend par là, c'est que dans un exemple concret on peut avoir C1/C2 et C2 qui portent 90% de l'inertie mais on peut avoir C4 la composante déterminante par rapport à une variable qualitative supplémentaire qui nous intéresse dans notre cas.

Cordialement

Une ACP est juste une représentation des points initialement dans un espace à plusieurs dimensions, dans un espace plus petit (une ou deux dimensions). C'est tout. Ca ne crée rien et ne fait rien d'autre

Si vous avez deux variable x et y, vous les représentez sur un plan. Si le graphique que vous obtenez "représente un phénomène naturel ou non" n'a pas de rapport avec le graphe construit, mais plutôt avec ce que vous mesurez ou la question que vous vous posez.

Maintenant, dans une ACP, l’appellation "effet taille" ou "facteur taille" veut juste dire que toutes les variables sont corrélées positivement entre elles et sont donc corrélées généralement positivement à un axe, généralement le premier. Ca n'a pas de rapport directe avec la définition du mot "taille" dans le dictionnaire, et n'a pas forcement donc vocation à représenter un phénomène réel.

Oui, enfin, dans une ACP, "inertie" et "variance" sont deux mots totalement synonymes et veulent donc dire la même chose..

HTH, Eric.

Bonjour Eric.

Merci de votre réponse, je suis bien conscient du principal intérêt de l'ACP qui comme vous l'avez rappelé est une compression d'informations.
Néanmoins, il est difficile dans certains cas de ne pas voir de liens entre les composantes principales et des phénomènes explicatifs latents au sujet de nos variables.

Typiquement, si j'effectue une ACP sur les variables longueur, largeur, masse, consommation... sur une dizaine, une centaine de véhicule, je trouve un effet taille qui correspond bien à une réalité qui s'énumère comme suit : "L'ensemble des caractéristiques d'un véhicule sont corrélées positivement."
Pour l'instant, je ne dis rien de plus que ce que ma première composante dit, mais cette conclusion est le reflet d'une réalité assez simple, oui, évidemment que si ma voiture est plus grosse, elle est plus lourde et que si elle est plus lourde consommera donc plus etc.

Cette première composante n'est donc pas "juste" un agglomérat de données compressées dans un espace réduit - en fait algébriquement si - mais, je pense que vous aurez probablement compris où je voulais en venir.

Pour étayer mon propos, je reprends l'exemple des voitures, une ACP sur ces données donnera d'abord un effet taille pour C1, puis un effet forme pour C2. Là encore, C2 ne mettra en évidence qu'une opposition courante dans notre jeu de données, et cette opposition sera celle qui existe entre les voitures sportives et les autres.
Une nouvelle fois, C2 n'est qu'une création algébrique je suis d'accord, mais elle met en avant une autre réalité tout comme C1.

Après, je concède que toutes les ACP ne permettent pas d'accéder à de tels raisonnements et que certaines composantes sont parfois des artefacts mathématiques sans correspondance avec la réalité.

Voilà où je voulais en venir.