A la recherche de LA formule statistique

Bonjour,

Je travaille sur un problème qui consiste à déterminer le nombre d'éléments contenu dans une population qui évolue dans le temps et qui est corrélée à une autre population qu'on sait décrire.
Je sais résoudre le problème de "manière artisanale" en utilisant EXCEL, mais je pense qu'il existe une formule statistique qui fait la même chose et c'est cette formule que je cherche.

Je remercie d'avance les courageuses et les courageux qui se lanceront dans la lecture de l'exposé ci-dessous. Je commence par poser le problème "mathématiquement" et ensuite, je prends un exemple concret.

On considère deux populations d’éléments P1 et P2.
Le nombre d’éléments contenus dans ces populations évolue dans le temps.
L’évolution du nombre d’éléments de P2 est liée à l’évolution du nombre d’éléments de P1.
On sait comment évolue le nombre d’éléments contenus dans P1.
Ainsi, on connaît :
- le nombre initial d’éléments de P1 à T=0, P1(0)
- le nombre final d’éléments de P1 à T=N, P1(N)
- le coefficient qui relie P1 à P2, C
- le nombre initial d’éléments de P2 à T=0, P2(0)
On cherche le nombre final d’éléments de P2 à T=N, P2(N).

Prenons un exemple concret.
Le 1er janvier 2000, la société BIZOTO lance un réseau de distributeurs dont le rôle est de vendre une prestation à des clients.
P1 est la population de distributeurs.
P2 est la population de clients.
On connait l’évolution de la population des distributeurs (P1) sur 5 ans (soit 60 mois plus tard)
- P1(1er janvier 2000) = 35 distributeurs
- P1(31 décembre 2004) = 175 distributeurs
- C = est le nombre de clients gagnés par chaque distributeur en 1 an. Ainsi C = 2 signifie que chaque distributeur signe 2 clients par an, ou encore, si on parle en nombre de client/mois/distributeur, C = 0,17
- P2(1er janvier 2000) = 0 clients (c’est normal les distributeurs commencent à travailler)
Je cherche à connaître P2(31 décembre 2004) qui représente le nombre total de clients signés par les distributeurs pendant 5 ans.
Je suppose :
- que les deux populations varient de manière linéaire
- que le taux de fidélisation client est de 100%

Avec ma méthode artisanale, je trouve les résultats suivants :

P1(1er janvier 2000) = 35 distributeurs
P1(31 décembre 2004) = 175 distributeurs
C = 0,17 client/mois/distributeur (soit 2 clients/an/distributeur)
P2(31 décembre 2004) = 1061,67 clients

P1(1er janvier 2000) = 35 distributeurs
P1(31 décembre 2004) = 175 distributeurs
C = 0,33 client/mois/distributeur (soit 4 clients/an/distributeur)
P2(31 décembre 2004) = 2123,33 clients

Je suis certain qu’il existe une formule statistique toute prête pour traiter ce genre de problème.
Peut-être même fait-elle partie des fonctions disponibles dans EXCEL !
La connaîtriez-vous ?

Bien à vous, Rodolphe

Bonjour,
j'ai un peu réfléchi à votre problème. J'ai une solution mathématique mais aussi des commentaires sur les hypothèses et la formulation du problème.
Pour la solution:
Si on considère le mois comme échelle de temps.
On peut tout d'abord trouver le nombre de distributeur en fonction du temps t en mois.
P1(t)= at +b (avec l'hypothèse de variation linéaire )
P1(0)= 35 et P1(60)= 175 donnent
P1(t) = 7/3 t +35
Ensuite, si à chaque mois, chaque distributeur donne C clients on a :
P2(0) = 0
P2(1) =P2(0)+ C.P1(0)
P2(2) = P2(0)+ C.P1(0) + C.P2(1) etc
Et au nième mois on aura
P2(n) = C fois la somme des P1(t) pour t variant de 0 à n-1
D'ou P2(n) = C (35n + 7/3 n(n-1)/2)
Avec n=60 et C= 0.17, on obtiend : 1059.1
Avec C= 0.33,on a : 2055.9
Commentaires:
-Les différences avec ce que vous avez trouvé viennnent certainement des accumulations d'erreurs d'arrondis à chaque étape sur le 2/12= 0.17 (par excès) ou le 4/12 = 0.33 (par défaut).
-L'hypothèse de linéarité de P2 par rapport au temps est fausse car l'accroissement par mois n'est pas constant.
-Les résultats dépendent de l'échelle de temps que l'on considère. C'est le point qui me semble le plus important dans la formulation du problème.
Est ce qu'on considère que tous les mois le nombre de distributeurs a augmenté et que le nombre de clients dépend de ce nombre ou est ce que l'on fait ce raisonnement à la fin de l'année. C'est comme la différence entre recevoir 12% d'intérêts à la fin de l'année ou 1% par mois.

Voilà mes réflexions certainements imparfaites.
Cordialement
Dominique

Bonjour Dominique,

Merci pour votre message et surtout merci pour la peine que vous vous êtes donné.

Je pense que nos différences proviennent de l'hypothèse faite au départ pour le premier mois :
- soit les distributeurs produisent à 35
- soit ils produisent à 35 + les nouveaux distributeurs arrivés le mois en cours

Pour répondre à votre question, le nombre de clients est directement lié au nombre de distributeurs.

De mon côté, j'ai aussi trouvé une solution en passant par une suite arithmétique où X(n) représente le nombre de clients signés, le mois n, par les distributeurs en place.
P2(31 décembre 2004) = somme[X(n)] n variant de 1 à 60

X(1) =(35+140/60)*2/12 = 6,22 clients le premier mois
X(2) =(35+2*140/60)*2/12 = 6,61 clients le deuxième mois
X(3) =(35+3*140/60)*2/12 = 7 clients le troisième mois
...

X(n) = X(0) + nR
R = (140/59*4/12) = 140/59*C
140 est l'augmentation du nb de distributeurs sur 5 ans (=175-35)
n varie de 1 (janvier 2000) à 60 (décembre 2004)
4 est nb clients/an/distributeur
4/12 est le nb clients/mois/distributeur

Mais au final, ça donne quelque chose de trop compliqué à expliquer avec des hypothèses qui manquent de réalisme.

Pour tout vous dire, le problème qui est à l'origine de notre discussion est le suivant.
Il s'agit d'un réseau de franchise qui existe vraiment et qui recrute des franchisés qui eux-même vendent un service à des clients.
Le nombre de ces franchisés a évolué officiellement de la manière suivante :
- au 31/12/2000 le réseau comptait 65 franchisés
- au 31/12/2001 le réseau comptait 85 franchisés
- au 31/12/2002 le réseau comptait 110 franchisés
- au 31/12/2003 le réseau comptait 165 franchisés
- au 31/12/2004 le réseau comptait 175 franchisés
Les dirigeants du réseau reconnaissent qu'à fin 2004, les franchisés ont signé "plus d'un millier de clients".

La question est : que penser de la performance de ce réseau ?
Et comment l'analyser ?

Si vous avez un avis, je suis preneur.

Bien à vous, Rodolphe

Bonjour,
Le "vrai" problème est en effet plus complexe que le problème mathématique.
A mon avis il serait intéresssant de mettre en regard les deux séries, celle des "franchisés" et celle des "clients" (mais peut-être que cette dernière n'est pas disponible). Ensuite , voir comment ces deux séries évoluent séparément et conjointement en calculant leurs caractéristiques puis en ajustant des modèles linéaire ou autre.
Il faudrait aussi essayer de définir ce qu'on appelle "performance" du réseau. Est ce que c'est le nombre de clients, son accroissement par an, un rapport entre le nombre de franchisés et le nombre de clients ou bien un rapport coût/bénéfice. On pourrait ainsi quantifier le problème et faire des calculs mais là, je vous laisse à votre connaissance du métier.
Cordialement
Dominique

merci en tout cas et bonnes fêtes de fin d'année.

Bien à vous, Rodolphe