Comparaison de lois

Le problème qui consiste à tester l'hypothèse Ho : F=G est bien documenté (tests de Student, Kolmogorov-Smirnov, Wilcoxon, etc). Cependant, existe-t-il un test pour l'hypothèse F{ (x-muX) / sigmaX } = G{ (x-muY) / sigmaY }, où muX, sigmaX, muY, sigmaY sont les moyennes / écart-types inconnus de X et Y respectivement ? Après de nombreuses recherches, je n'ai rien trouvé.

En fait, une idée serait de baser un test sur les données "normalisées" ( Xi - Xbar ) / sX, i=1,...n et ( Yi - Ybar ) / sY, i=1,...m, et employer un test classique (disons Cramér-von Mises) sur ces observations transformées. Un seul hic : ça ne marche pas du tout ! En effet, le test est incapable de tenir son seuil sous Ho...

Merci de votre aide !

Cependant, existe-t-il un test pour l'hypothèse F{ (x-muX) / sigmaX } = G{ (x-muY) / sigmaY }, où muX, sigmaX, muY, sigmaY sont les moyennes / écart-types inconnus de X et Y respectivement ?

Je ne vois pas la différence avec un test classique. Tu testes bien si deux groupes appartiennent à la même population de valeurs. Donc que veux tu tester réellement ? Tu sous-entends que X et Y sont 2 variables aléatoires indépendantes ? Dans ce cas pourquoi suivraient-elles la même loi ?

Bref je comprends pas trop où tu veux nous emmener. Alors explique nous le but de cette recherche.

On peut énoncer le problème classique de la façon suivante : est-ce que X et Y (deux variables aléatoires indépendantes) suivent la même loi ? Dans ce cas, basés sur des échantillons indépendants X1, ..., Xn et Y1, ..., Ym, on applique un des tests disponibles, ex. Cramér-von Mises.

Mon problème est différent. La question est : est-ce que la loi de X et de Y, après une normalisation par la moyenne et l'écart-type, est la même ? Ainsi, les lois N(mu1,sigma1) et N(mu2,sigma2) seraient identiques de ce point de vu, puisque (X-mu1)/sigma1 et (Y-mu2)/sigma2 ont la même loi. Dans ce cas, si on appliquait un test classique, il rejetterait l'hypothèse d'égalité des lois si les paramètres mu1, mu2, sigma1, sigma2 sont différents.

Ce que je veux, c'est un test pour l'égalité en loi de (X-mu1)/sigma1 et de (Y-mu2)/sigma2, où mu1, mu2, sigma1, sigma2 sont inconnus.

Quand tu mentionnes ne pas voir la différence avec le cas classique, que ferais-tu alors pour tester mes hypothèses ?