E(1/Xn) ??

Bonjour à tous!
Je révise une annale pour un examen de statistique-mathématiques la semaine prochaine, et je suis tombée sur une question... pour laquelle j'ai besoin d'aide!
Voila : on a une v.a. Xn qui suit une loi normale N(1/z;1/n), avec z le paramètre inconnu, et n le nombre de variables iid. La question est : quelle est l'espérance de Xn ?
j'ai essayé beaucoup de choses, avec la fonction muette par exemple, mais je n'arrive pas à finir les calculs... Quelqu'un a-t-il une clé pour me débloquer?
merci d'avance!!

Il doit y avoir un truc qui m'échappe là....mais si une variable aléatoire suit une N(1/z,1/n) alors l'espérance de cette variable est 1/z .....

Non ?

A moins que z soit une variable aléatoire....

Milles excuses! je me suis trompée dans l'énoncé!! Ce qu'on cherche, c'est l'espérance de 1/Xn et pas celle de Xn qui est effectivement 1/z...

Salut,

J'ai essayé un peu et on arrive à des intégrales bien difficiles en effet. Il n'y a pas de question préliminaire ?

Bonjour,

Par simulation j'ai obtenu 1/E(Xn).

Si on connait tous les moments d'une loi normale centrée, on pourrait essayer de s'en sortir avec un développement en série entière :

Soit m la moyenne de X, alors

1/X = 1/(X-m+m) = 1/m * 1/[(X-m)/m +1]

Ensuite on utiliserait le développement en série entière de 1/(u+1) = 1 -u +u^2 -u^3 ...

Posons Z=(X-m). Je suppose que la variance est 1. Les moments d'ordre pair de Z sont nuls et le moment d'ordre 2k est (2k)!/(2^k*k!)

On obtient E[1/X] = 1/m * Somme (2k)!/(2^k*k!)/m^{2k}

Mais je ne sais pas comment calculer la somme de cette série.