correction sur proba et logvraisemblance d'une loi poisson

Bonjour,

J’aimerai trouver la proba P[yi=0] et la log vraisemblance d’un échantillon (y1,…,yn).

Je dispose d’une variable latente Yi* qui suit une loi de poisson de paramètre m.
F(y*)=( exp ^–m m ^y* ) / y* ! avec m>0 et y*appartenant aux entiers naturels

yi = 1 si yi*=0
0 si yi*≥1

Voici ce que j’ai trouvé :
P(yi=0) = 1 - p(yi=1)
= 1 – p(yi*≥1)
= 1 – [p ((exp ^–m m ^y*) / y*! ≥1)]
= 1 – [p ((exp ^–m m ^y*) ≥ y*! )]
= 1 – [p ((exp ^–m m ^y*) - y*! ≥ 0)]
= 1 – [1 - p ((exp ^–m m ^y*) - y*! ≤ 0)]
=1 – 1 + p ((exp ^–m m ^y*) - y*! ≤ 0)
= p((exp ^–m m ^y*) - y*! ≤ 0)
=F(X≤x)
La fonction de répartition est : φ((exp ^–m m ^y*) - y*!) (la fonction de répartition n’est pas en fonction du paramètre m ?)

Vraisemblance individuelle :
F(yi/ φ) = p(yi=1)^yi
p(yi=0)^1-yi

Vraisemblance de l’échantillon :
L(φ) = ∏ F(yi/φ) = ∏ p(yi=1)^yi p(yi=0)^1-yi
= ∏ (1- φ((exp ^–m m ^y*) - y*!) ^yi φ((exp ^–m m ^y*) -y*!)^1-yi

Log vraisemblance :
L(φ) = ∑ (yi log[ 1 - φ((exp ^–m m ^y*) - y*!] + (1-yi) log [φ((exp ^–m m ^y*) - y*!)])
=ýN (yi log[ 1 - φ((exp ^–m m ^y*) - y*!] + (N- ýN) log [φ((exp ^–m m ^y*) - y*!)]

Avec ý= 1/N ∑YI

Merci d’avance

pour moi
P(yi=0) = 1 - p(yi=1) = 1-p(yi*=0) = 1-( exp ^–m )
et p(yi=1) = ( exp ^–m )

donc la vraisemblance :
∏ p(yi=1)^yi p(yi=0)^1-yi = (1-(exp^–m))^yi * (exp^–m)^1-yi

et après simplification pour moi la log vraisemblance est :
∑[yi*log(e^m-1)-m]

J'avais fais une erreur en recopiant l'énoncé mais ca ne change pas ce que j'avais trouvé.

J’aimerai trouver la proba P[yi=0] et la log vraisemblance d’un échantillon (y1,…,yn).

Je dispose d’une variable latente yi* qui suit une loi de poisson de paramètre m.
F(y*)=(exp ^–m m ^y* ) / y*! avec m>0 et y*appartenant aux entiers naturels

yi = 1 si yi*≥1
0 si yi*=0

p(yi=0)=p(yi*=0)=e^-m
p(yi=1)=p(yi*≥1)=1-p(yi=0)=1-e^-m

La vraisemblance :
∏ p(yi=1)^yi.p(yi=0)^1-yi = ∏(1-e^–m)^yi.(e^–m)^1-yi

la log vraisemblance :
∑[yi.log(e^m-1)-m]

Voila ce que je trouve