Corrélation et Probabilité dans le cas de lois normales

Bonjour,

Soit n distributions de notes scolaires suivant toutes un loi normale de même moyenne (m) et de même écart-type (e). Ces n distributions sont toutes corrélées entre elles deux à deux avec un même coefficient de détermination r2.

Tous les élèves passent les n épreuves. S'ils obtiennent une note (ou plus) inférieure à k, ils seront sanctionnés.

Comment déterminer le % des élèves sanctionnés ? Si r2 est nul, c'est facile, mais comment faire si r2 est positif ?

Merci d'avance pour votre aide.

Intuitivement, je trouve cette solution, qui semble juste (d'après simulations avec Excel), mais je ne sais pas la démontrer :

Soit p la proportion des élèves qui obtiennent une note égale ou inférieure à k dans une matière quelconque (densité de probabilité facile à calculer)

Je cherche donc S, la proportion d'élèves sanctionnés. Elle sera égal à 1 - le pourcentage d'élèves qui ont toujours plus de k.

S = 1-(r2(1-p)+(1-r2)(1-p)^n)

bonjour,

malheureusement je n'ai pas la solution a ton problème mais la formule que tu donnes ne semble pas la bonne, si on prend deux lois normales mu=10 et s²=4
et si k=8 alors la proportion de gens sanctionnés est de 0.2018202 (valeurs issue d'une loi normale multivariée) alors qu'avec ta formule j'obtiens 0.1840172.

par contre je ne vois pas comment la calculer cette valeur désolé.

micros

Bonjour,Merci micros corpus. Tu as raison. Ma formule est inexacte, bien que toujours assez proche du résultat.

je n'ai pas la solution analytique à ta réponse mais en gardant les mêmes paramètres pour les lois normales (mu=10,sigma=2) et le coef de corrélation à 0.9, tu obtiens une très bonne relation puissance entre la proba R d'avoir toutes les notes > k et n le nombre de loi normale :
p est la proba d'observer un valeur supérieure à k
ici k=8
R = p*n^(-0.07863748)
S = 1-R
Ici l'approximation est vraiment très bonne.

Après je ne sais pas l'expliquer et je ne sais pas comment retrouver cette valeur de -0.07863748. Mais c'est peut être une piste à creuser ...

micros

Bonjour micros corpus et merci,Sauf erreur, en prenant d'autres valeurs, ta formule ne me donne pas de meilleurs résultats. Par exemple, avec mu=11 et sigma=3, k=7, n=5 et R=0.9, ta formule me donne 19.7%, la mienne, 14.2% et mes simulations Excel, environ 16%. A propos d'Excel, j'ai remarqué que les fonctions Loi.normale et Loi.normale.inverse n'étaient pas très précises. En allant de l'une à l'autre on trouve des écarts non négligeables. Comme j'utilise ces deux lois pour faire mes simulations...

re,

en fait la relation que je t'ai donnée ne fonctionnait que pour les paramètre que je t'avais donné ...
pour tes paramètres j'obtiens ceci :
p = 0.9087888 p(X>7) suivant une loi normale N(11,3)
la formule devient :
R = p*n^(-0.05194407)
S = 1-R

pour n=5 on obtient donc : 16.4%, la valeur théorique étant 16%.

En fait ce que je trouvais intéressant c'était la première relation celle pour R, mais je n'arrive pas à la retrouver à partir des paramètres de départ, mu, sigma, n et r. Il y a peut êter une relation évidente entre toutes ces valeurs mais je n'arrive pas à obtenir la valeur de la puissance.

micros

P.S : pour des simulations de stats j'ai pas confiance en Excel j'ai tout fait sous R.

Ah oui, OK. Effectivement, c'est une piste à creuser.

Sauf erreur, tes formules ne semblent pas marcher avec de petites valeurs de k (essaie avec 3 par exemple).

Effectivement les écarts sont plus important pour les petites valeurs : 2 possibilités 1) la précision de mes probas estimés pour calculer le modèle n'est pas suffisante, 2) la relation que je trouve n'est qu'une relation asymptotique. Tu as besoin de calculer cette proba pour toi ? ou dans le cadre d'un exam ou je ne sais quoi car si c'est pour toi utilises un logiciel de stat.

micros

J'en ai besoin pour un modèle de simulation. La précision de ma formule me suffit, mais j'aimerais trouver la bonne formule. Si je la trouve, je reviendrais la poster ici.Encore merci pour ton aide

si tu n'en as besoin que pour des simulations alors n'importe quel logiciel de stats devrait être en mesure de te données la bonne proba. En tout cas avec R c'est effectivement très simple. Après je sais aussi que dans Excel la précision n'est pas toujours au rendez-vous.

micros

R, c'est quoi ?

un logiciel de stats parmi tans d'autres qui a la bonne idée d'être gratuit. Après ça marche par ligne de commande alors tout dépend de ce que tu cherches à faire dans tes simulations ça peut être plus ou - simple pour les programmer (comme dans n'importe quel langage d'ailleurs).

micros

Je ne connaissais pas. Je fais très peu de stats. J'utilise parfois SPSS.