moments d'une loi normale repliée et tronquée

Bonjour,

Je suis en train de me casser les dents sur le problème suivant :

Dans des simulations, je tire des valeurs X dans une loi normale centrée (espérance = 0). Jusque là, rien de bien compliqué. Dans cette loi, je m'intéresse en fait plutôt à la valeur absolue de X, et la loi correspondante est une loi normale dite "repliée" ("folded" en anglais), dont l'espérance se calcule facilement. Elle vaut sigma*sqrt(2/pi) (où sigma est l'écart-type de la loi ; voir ici par exemple). Encore une fois, pas trop de problèmes jusque là.

Le problème que j'ai à présent, est que j'ai besoin de tirer des valeurs qui soient supérieures (en valeur absolue) à un certain seuil "a". Je suis donc en fait à la base dans une loi normale tronquée, et ici aussi on peut en calculer l'espérance (voir ici par exemple).

Je pense que vous pouvez à présent entrevoir mon problème : Que vaut l'espérance d'une loi normale centrée d'écart-type sigma, repliée et tronquée au-dessus d'un seuil "a" ?

Impossible de trouver l'information sur le web, et je n'arrive pas à calculer ceci théoriquement.

Si quelqu'un a une idée, elle serait la bienvenue.

Amitiés à tous, Eric.

Bonjour,

D'un point de vue analytique je serai bien incapable de te dire, par contre d'un point de vue numérique tu peux essayer ça et peut-être que ça nourrira ta réflexion. Sinon je pense qu'il faut voir auprès d'un vrai mathématicien-stateu :

Code:

# marche uniquement pour une variable centrée
f <- function(x, s, a) x*dnorm(x, 0, s)/(pnorm(-abs(a), 0, s)*2)*2
integrate(f, 1.5, Inf, s = 1.3, a = 1.5)

# un test avec s = 1.3 et a = 1.5
set.seed(101)
a <- rnorm(1e8, 0, 1.3)
ax <- abs(x)
ax <- ax[ax>1.5]
mean(ax)


cdlt

ok, merci. Je vais voir ce que je peux faire avec ça..

Eric.

essaie ça (pour a > 0) :

Code:

a <- 1.5
s <- 1.3
integrate(f, 1.5, Inf, s = 1.3, a = 1.5)

s/(sqrt(2*pi)*pnorm(-a/s))*exp(-0.5*(a/s)^2)


cdlt

Merci,

C'est la piste sur laquelle je planche actuellement. Cependant, plus j'y pense, plus je crois qu'il y a une solution plus simple car, d'une certaine manière, une loi Normale repliée, ça ressemble à une loi Normale tronquée à zéro (les espérances sont évidement les mêmes). Du coup, s'intéresser à calculer l'espérance d'une loi repliée et tronquée en 'a' revient peut-être tout bêtement à s'intéresser à l'espérance d'une loi simplement tronquée en 'a' (a>0), ce qui est simple. Je suis en train de calculer les moments correspondants.

Eric.

Bonjour,

en tout cas si tu as la réponse n'hésite pas à nous la donner, je serais curieux de la connaître.

cdlt

droopy a écrit:Bonjour,

en tout cas si tu as la réponse n'hésite pas à nous la donner, je serais curieux de la connaître.

cdlt

Bon, en fait, c'est donc assez simple. Les moments d'une loi tronquée (notamment une loi Normale) sont bien connus. On trouve plusieurs pages Wikipedia qui expliquent ceci simplement. Il y a même des exemples de code R qui calculent ça (voir par exemple ici).

Je viens de recoder ceci en C, et tout marche correctement.

Merci pour ton temps ici droopy pour répondre à ma question.

HTH!

Eric.

Merci pour ce lien.
En tout cas il semble que ma formule soit bonne pour mu = 0 et a > 0 !

cdlt