Vérifier si un dé est pipé

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Message par zezima le Ven 28 Déc 2018 - 7:12

Bonjour,

Lors des fêtes de noël, une des équipes de mon laboratoire (composée de 6 personnes) avait un calendrier de l'avant et avait un petit jeu afin de savoir qui récupérait le chocolat chaque jour.
Le jeu est simple, chaque personne a un chiffre qui lui est attribué. Chaque jour, une personne différente lance le dé, la personne qui voit son numéro sortir a le droit de manger le chocolat du jour.

Seulement voilà, un des joueurs n'a eu qu'un seul chocolat à la fin du jeu. Il est donc venu me voir pour savoir si le dé était pipé (une loi uniforme parfaite aurait donné un gain à chaque joueur dans 16,66% des cas, soit 24/6=4 gains pour chaque jouer).

La première chose qui me paraît évidente, c'est que les résultats du jeu ici pourront surtout indiquer les probabilités que l'on obtienne ces résultats.
Ensuite, il me semble évident que sur 24 lancers, on ait des proportions éloignées de 16,66% de win/rate pour certains joueurs.

J'ai calculé la probabilité qu'au moins un joueur n'ait que 1 chocolat maximum au bout des 24 tirage (en, suivant une loi uniforme), je posterai les résultats quand j'aurai un PC.
J'ai également proposé que les joueurs lancent le dé un grand nombre de fois mais cela me semble un peu long pour être certain d'approcher une loi uniforme.

Comment auriez-vous procédé pour vérifier si le dé est pipé ou non ?
Merci d'avance


Dernière édition par zezima le Jeu 24 Jan 2019 - 14:37, édité 1 fois
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Message par gg le Ven 28 Déc 2018 - 8:23

Bonjour.

Il n'y a aucun moyen mathématique de vérifier que le dé n'est pas pipé. Cependant, différents tests statistiques peuvent permettre de mettre en doute la régularité du dé. 24 lancers est très faible pour qu'un test soit efficace, mais on peut facilement faire un test du khi-deux d'équiprobabilité.
On peut aussi relancer le dé 500 fois et refaire ce test de khi-deux.

Pour un test direct, le bon calcul n'est pas la probabilité que le 1 sorte moins de 2 fois, mais la probabilité qu'au moins un des numéros sorte moins de 2 fois. Car ce qui est arrivé au 1 aurait pu arriver à n'importe lequel des autres, si de dé est équilibré.

Cordialement.

NB : j'ai fait cela 2 ou 3 fois pour mes étudiants avec les résultats du Loto, y compris à un époque où le nombre de sorties de certains nombres était du genre 300 pour l'un, 600 pour l'autre. Le test n'a jamais été significatif.
NBB : Pour l'équiprobabilité, le hasard n'est pas toujours le mieux : Ils auraient pris chacun un chocolat tous les 6 jours, ils en auraient eu le même nombre.

gg

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Message par Izntimportant le Dim 30 Déc 2018 - 21:23

Tu peux également faire un test utilisant le distribution binomiale.
Tu mets en hypothèse nulle que le dé n'est pas pipé:
H°: le numéro (de la personne qui est venue se plaindre) a 1/6 probabilité de survenir lors d'un lancé.
H(a): le numéro de la personne qui est venue se plaindre a moins d'1/6 de probabilité de survenir.
Soit: H°: P = 1/6 et H(a): P<1/6.
Ensuite tu calcules en utilisant la loi binomiale:
- Pour le nombre "d'essais/lancers" tu utilises 24
- Pour le nombre de "succès" tu utilises le nombre de fois qu'on a obtenu son chiffre (ici une fois)
- p qui est la probabilité d'un succès tu utilises 1/6
- q (probabilité d'un échec) doit donc être normalement (si le dé n'est pas pipé) 5/6

Ensuite, considères le fait que tu calcules la probabilité d'avoir "maximum" 1 occurrence (du chiffre de cette personne)
C à d que tu devras faire la binomiale pour X=0 (c à d zéro succès de cette personne) + X=1 (c à d un succès de cette personne, ce qui est ce qui c'est réellement passé ici).
Après tu auras une réponse, tu peux la comparer à 0.05, si c'est < tu peux rejeter l'hypothèse nulle et confirmer que c'est pipé.
NB: tu peux aussi utiliser 0.01 si tu veux, ton test risque de ne pas être concluant, si cependant il l'est, alors tu as 1 chance sur 100 de te tromper.
NB2: tu peux utiliser la même loi pour calculer la probabilité qu'avaient les autres chiffres de survenir.

(Enfin, je peux faire tous ces calculs si tu me donnais les résultats exacts des 24 occurrences).
J'espère t'avoir aidé.

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Message par gg le Lun 31 Déc 2018 - 9:05

Attention, Iznimportant,

Ce que tu proposes ne teste pas si le dé est pipé, mais si la personne qui se plaint a eu de la malchance. Car ce n'est qu'à l'issue du tirage qu'on choisit le numéro malchanceux (aucun des 5 autres ne se plaint !).

Voici un tirage (simulé avec un tableur) de 24 valeurs 1,2,3,4,5,6 équiprobables : 4; 1; 6; 7; 3; 3. Celui qui avait choisi le 2 va se plaindre : le 2 n'est sorti qu'une seule fois. Par contre, celui qui avait choisi le 4 ne se plaint pas, alors que son résultat est tout aussi loin de la moyenne 4.
C'était mon premier essai de simulation, j'en fais d'autres :
3; 3; 4; 8; 4; 2 (8 est le double de la moyenne)
7; 3; 5; 5; 0; 4 (cette fois-ci, le 5 va pleurer, c'est encore moins !)
5; 2; 2; 6; 3; 6
5; 3; 5; 1; 7; 3 (c'est le 4 qui se plaint !!)

Cette simulation laisse bien entrevoir que celui qui s'est plaint refuse ce qu'il avait accepté au départ : le jeu du hasard.

Cordialement.

gg

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Message par Izntimportant le Mar 1 Jan 2019 - 18:28

Justement, la binomiale permettra de calculer la probabilité des occurrences. Si ce qui est arrivé a une très basse probabilité de survenir (ce qu'on appelle malchance), alors il y a lieu de se questionner sur le fait que ce soit de la malchance ou du "trucage".

Par exemple si sur 24 lancés le dès donne:
6,4,5,3,3,1,4,2,4,1,5,6,3,6,1,4,1,1,5,3,1,6,3,3.
Si la personne a obtenu (avant le jeu) le numéro 2, on calculera avec la binomiale pour obtenir:
0,0000000000000000000844170132
Autrement dit c'est la probabilité qu'un dès normal donne une fois l'occurrence 2 sur 24 lancés.
Et cette dernière est tellement basse, qu'on peut en conclure que le dès est pipé.
Voilà le raisonnement, je pense que c'est juste non?
Cordialement.

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Message par gg le Mar 1 Jan 2019 - 20:33

Ben non, on ne peut pas le conclure. As-tu vraiment lu ce que j'écrivais ? Ce n'est pas parce qu'un événement a une probabilité très faible que ce qui l'a provoqué est orienté, non aléatoire.

Et j'aimerais voir ton calcul avec la loi binomiale pour trouver une proba aussi faible, moi je trouve environ 0,06.

gg

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Message par zezima le Jeu 24 Jan 2019 - 13:46

gg a écrit:Pour un test direct, le bon calcul n'est pas la probabilité que le 1 sorte moins de 2 fois, mais la probabilité qu'au moins un des numéros sorte moins de 2 fois.

Bonjour,

Merci à tous les deux de me conforter dans cette idée.
J'ai relancé des simulations et j'ai pu montrer à cette personne que c'était assez probable qu'au moins un des participants vive une vraie injustice au niveau de la distribution des chocolats (<2 chocolats).

Relancer le dé va également donner beaucoup de poids au fait que le dé n'est surement pas pipé.

Vous m'excusez pour mon retour très tardif, j'ai eu beaucoup de projets ces derniers temps.


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Message par gg le Jeu 24 Jan 2019 - 14:06

Attention à l'orthographe : ce qu'on jette, c'est un . "dès" est une préposition ("à partir de, ...").

Cordialement.

gg

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Message par zezima le Jeu 24 Jan 2019 - 14:36

Ah oui j'ai fait une vilaine erreur.
Il vaut mieux parfois se relire.

Cordialement
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