Coefficient de corrélation et résidus

Bonjour,

J'étudie la régression linéaire simple, et je me pose la question suivante : est-ce que l'étude des résidus (l'estimation de leur variance, par exemple) apporte une information supplémentaire par rapport au coefficient de corrélation?

Il me semble que la relation "fondamentale" σ^2=(1−r2)σ2Y tendrait à dire que non, d'où ma confusion.

Accompagnant la droite de régression, on voit souvent des barres d'erreur dont la longueur est fonction de l'écart-type des résidus. Qu'est-ce que cela apporte de plus sur la qualité de l'ajustement que la valeur du coefficient de corrélation? Ce n'est peut-être qu'une question d'unité...

Cordialement.

Bonjour,

La vraie question est quel est l'intérêt d'un R² ?
C'est une mesure très globale de la représentativité du modèle qui ne doit pas être prise pour plus que ce qu'elle est. Le R² est d'ailleurs controversé comme mesure de l'adéquation du modèle.

L'analyse des résidus est fondamentale et incontournable. La variance que tu cites ne doit elle aussi pas être limitée à une valeur mais bien être regardé tout au long de la valeur des variables explicatives afin de détecter d'éventuels problèmes de structure de variance. On peut évoquer aussi les problèmes de valeurs levier.

Enfin, les hypothèses de base du modèle linéaire portent bien sur les erreurs du modèle.

Donc tu en apprends beaucoup plus en regardant les résidus que le simple R²

Nik

Merci pour la réponse rapide. Effectivement, j'ai parlé beaucoup trop vite, l'analyse des résidus sert à beaucoup de choses. En particulier, si j'ai bien compris, elle permet aussi de donner un intervalle de confiance pour les coefficients de la droite de régression, de faire des tests...

Cependant, d'un point de vue purement descriptif, est-ce que les barres d'erreur représentant l'écart-type des résidus (dans ce que j'ai lu jusqu'à présent, on suppose que tous les résidus ont la même variance) apportent une information supplémentaire par rapport au coefficient de corrélation?

oui car l'ajustement d'un modèle n'est pas toujours équivalent sur l'ensemble du domaine de définition. un R² global ne renseigne en rien là-dessus.

Même avec l'hypothèse que les résidus ont tous la même variance? Je ne suis pas sûr de comprendre, pour moi dans ce cas la variance estimée est globale.

ce n'est qu'une hypothèse .

Tu veux dire qu'en pratique, on ne fait pas cette hypothèse, trop restrictive?

Mais comment fait-on, alors? Si on ne sait rien de la précision des mesures et que l'on a seulement une série bivariée à analyser, on peut seulement écrire cette variance globale.

Ah, un instant. Sauf si l'on a plusieurs yi pour un même xi. Dans ce cas, je suis d'accord que l'on peut écrire une variance différente pour chaque xi, différente du carré du résidu.

C'est ça?

oui

Merci