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Taille de l'échantillon et écart type

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Taille de l'échantillon et écart type

Message par Innos13 le Dim 2 Juin 2013 - 13:51

Bonjour,

Dans la littérature je suis tombé sur cette formule donnant l'effectif d'un échantillon en fonction du risque et de l'écart type :

n = (Up-R/2)² . s²/d² (1)

où s est l'écart type , d la précision désirée, R le risque admis et Up le fractile de la loi normale associé à la proba p.

1/ J'aurai aimé savoir ce qu'est cette précision désirée d ?
2/ Je voudrai utiliser cette formule dans le cas suivant (que j'avais exposé dans un sujet sur ce forum) :

En géotechnique, les sondages CPT sont moins coûteux que les essais pressiométriques, qui donnent cependant plus d'informations que les CPT. Le CPT donnent une valeur qc de résistance et le pressio donne une valeur pl et Em. Il existe des corrélations entre ces valeurs du type qc = a.pl ou qc = b.Em.
J'aurai aimé pouvoir donner un nombre de CPT suffisamment représentatifs pour remplacer un maximum d'essais pressio. Pour cela je fais le calcul suivant :

Je fais l'hypothèse qu'un essai CPT et un essai pressio suffisamment proche donnent des qc et pl corrélés au maximum soit un coefficient de pearson de 1 :

COV(qc,pl)/s(qc).s(pl) = 1
<=> COV(qc, qc/a) / s(qc).s(pl) = 1
<=> Var (qc) / s(qc).s(pl) = a (d'après les propriétés de la covariance COV(aZ) = aCOV(Z) et COV(Z,Z) = Var(Z), Var = variance)
<=> s²(qc) / s(qc) = a.s(pl)
<=> s(qc) = a. s(pl)

Or sur mon site d'étude ont été réalisés plusieurs essais pressio dont je connais l'écart type des valeurs pl, s(pl). Connaissant la valeur "a" reliant qc et pl, je connais donc s(qc), écart type de qc. J'aimerai donc pouvoir prévoir le nombre n d'essai CPT nécessaire correspondant à cet écart type. C'est là que je me sers de la formule (1) :

n = (Up-R/2)² . s(qc)²/d² soit pour un risque de 5%, Up-R/2 = 1.96 : n = 1.96² . s²(qc) / d². Or je ne vois pas à quoi correspond cette précision d ?

Merci,

Innos


Innos13

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Re: Taille de l'échantillon et écart type

Message par gg le Dim 2 Juin 2013 - 16:16

Bonjour.

Je réponds surtout sur la précision, car je ne sais pas quel est le contexte de la formule que tu présentes.
Lorsqu'on calcule un intervalle de confiance au risque R, il est fréquent qu'il ait la forme [m-a,m+a] où m peut être la moyenne, ou la médiane, ou ... et a est un nombre dépendant de la taille de l'échantillon. Si on veut connaître une valeur x par ce procédé, on écrira x=m [a] et a apparaît donc comme la précision sur la valeur de x (au seuil de confiance 1-R choisi).

Ta formule est adaptée à une estimation gaussienne. Est-elle adaptée à ta situation, toi seul peux en juger. D'autre part, à la fin, tu sembles négliger R, qui est essentiel (en statistiques, le risque 0 donne des intervalles de confiance parfois infinis). D'ailleurs je ne comprends pas comment on peut soustraire R/2, assimilable à une probabilité à Up qui n'en est surtout pas une. Cette formule serait-elle fausse ?
A moins qu'il s'agisse de U_{1-R/2} qui donne 1,96 pour r=5%.

Cordialement.

gg

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Re: Taille de l'échantillon et écart type

Message par Innos13 le Dim 2 Juin 2013 - 18:19

Bonjour gg,

D'abord merci pour ta réponse et merci à ce forum qui m'a beaucoup aidé.

Effectivement il s'agit bien de U_{1-R/2} qui donne 1,96 pour r=5%. cette formule provient d'une revue scientifique pour le choix de sections témoins d'autoroute. Elle est introduite pour le calcul d'un échantillon en fonction du risque et de l'écart-type.

En fait c'était surtout au niveau de la précision "d" que je ne comprends pas : dans l'article, d est la "précision désirée" qu'ils prennent dans l'exemple égale à "0.25 écart-type". On aurait donc :

n= U_{1-R/2} . s²/d² = U_{1-R/2} . s²/(0,25.s²)² soit n = 1,96/(0.25.s²) pour un risque de 5%.

Est ce bien juste pour d ?

Merci Very Happy

Innos13

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Re: Taille de l'échantillon et écart type

Message par gg le Dim 2 Juin 2013 - 18:36

Si d est 0,25 écart type, c'est :
n= U_{1-R/2} . s²/d² = U_{1-R/2} . s²/(0,25.s)² soit n = 1,96/(0.25) =7,84 Qu'on prend égal à 8.

Mais avec un échantillon de 8 on ne déduit généralement pas grand chose d'utile. Enfin, c'est leur problème.

Pourquoi ne pas consulter un ouvrage de statistiques ?

Cordialement.

gg

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Re: Taille de l'échantillon et écart type

Message par Innos13 le Lun 3 Juin 2013 - 11:13

Oui je me suis trompé c'est 0.25.s pas 0.25.s².

Mais attention du coup c'est n= 1,96/0.0625 = 31,36 soit 31.

Donc en fait la valeur de l'écart-type n'a aucune influence sur la valeur de n ?

Auriez vous un ouvrage à me conseiller ?

Merci pour ces précisions

Cordialement

Innos13

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Re: Taille de l'échantillon et écart type

Message par gg le Lun 3 Juin 2013 - 13:06

Dans ce cas, la valeur de l'écart type n'intervient pas puisque c'est l'unité de mesure de l'intervalle de confiance (qui est, justement à priori proportionnel à l'écart type).
Pour une référence, si tu as à ta disposition la "bible de l'ingénieur", tu devrais y trouver ce que tu cherches. Sinon il existe pas mal de bouquins plus ou moins adaptés. J'utilise souvent le Saporta "probabilités, Analyse de données et Statistiques" parce que je l'ai. Tu peux aussi regarder ce pdf :polycop Jolion. Dans les deux cas, il faudra sans doute adapter à ta situation.

Cordialement.

gg

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Re: Taille de l'échantillon et écart type

Message par Innos13 le Mar 4 Juin 2013 - 9:29

Ok merci gg pour tous ces renseignements, je vais consulter tout ça

Innos13

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Re: Taille de l'échantillon et écart type

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