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Ecart-type population et écart-type échantillon

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Ecart-type population et écart-type échantillon

Message par Vinche le Jeu 25 Aoû 2016 - 14:03

Bonjour,

Jury d'une de mes anciennes écoles, je corrige actuellement le rapport d'un de mes étudiants et une question m'interpelle.

Voici le cas :
l'étudiant analyse la conformité d'un produit fabriqué en effectuant des prélèvements toutes les heures.
Le but étant de calculer son écart-type afin de calculer sa capabilité etc...

Ce qui me gène c'est la formule utilisée σ=√((∑〖(xi-x ̅)²〗)/n) : formule de l'écart type pour une population.

D'après moi il serais plus judicieux d'utiliser la σ=√((∑〖(xi-x ̅)²〗)/(n-1))  : formule de l'écart type pour un échantillon.

On retire un degré de liberté pour compenser le biais que l'on a à travailler sur un échantillon.

Suis je dans le juste? Si oui , je bute sur une justification plus mathématique.  


Si quelqu'un aurais le temps pour quelques explications.


Merci d'avance

Vinche

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Re: Ecart-type population et écart-type échantillon

Message par Nik le Jeu 25 Aoû 2016 - 14:52

Bonjour,

C'est effectivement la formule en n-1 qui est la bonne. Il ne s'agit pas d'une question de degré de liberté mais plutôt d'estimateur sans biais. En effet, l'estimateur s² est un estimateur biaisé de σ² (on sur- ou sous-estime systématiquement la vraie valeur de la population).

La division par n-1 au lieu de n permet de corriger le biais mais on perd généralement en précision.

Tout cela est vrai pour de petits échantillons car bien évidemment quand n devient grand n-1 est peu différent de n.

Nik

Nik

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Re: Ecart-type population et écart-type échantillon

Message par Vinche le Jeu 25 Aoû 2016 - 15:01

Merci pour cette réponse qui confirme les recherches que j'ai déjà effectué.

Existe t'il une démonstration mathématique pour justifier ce choix?

Encore merci pour votre célérité à répondre

Vince

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Re: Ecart-type population et écart-type échantillon

Message par gg le Jeu 25 Aoû 2016 - 15:36

Bonjour.

On trouve ça dans tous les cours sur l'estimation. A propos de l'estimation d'une variance (en fait, c'est la variance qui est estimée, puis on prend la racine carrée, l'estimation d'un écart type étant délicate).

Cordialement.

gg

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Re: Ecart-type population et écart-type échantillon

Message par Eric Wajnberg le Ven 26 Aoû 2016 - 4:54

Juste pour compléter :
Vinche a écrit:Ce qui me gène c'est la formule utilisée σ=√((∑〖(xi-x ̅)²〗)/n) : formule de l'écart type pour une population.

D'après moi il serais plus judicieux d'utiliser la σ=√((∑〖(xi-x ̅)²〗)/(n-1))  : formule de l'écart type pour un échantillon.
Formuler comme ca, c'est ambiguë. C'est plutôt le contraire. La formule en "n" est l'écart-type de l'échantillon, et celle en "n-1" est pour la population (estimée à partir de l'échantillon).

Et oui, il existe effectivement une démonstration/explication mathématique de ce terme en "n-1", qui n'est pas très compliquée d'ailleurs.

HTH, Eric.
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Re: Ecart-type population et écart-type échantillon

Message par Nik le Ven 26 Aoû 2016 - 7:59

@Vinche
Correction de Bessel

C'est wikipedia donc à vérifier dans un bouquin de stats...

Nik

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Re: Ecart-type population et écart-type échantillon

Message par Eric Wajnberg le Ven 26 Aoû 2016 - 13:23

ici aussi.

Eric.
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Re: Ecart-type population et écart-type échantillon

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