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Message par wild133 le Jeu 26 Nov 2009 - 19:46

Bonjour,

Je n'arrive pas a solutionné ce problème quelqu'un pourrait m'aider?

Dans une usine, une seule machine est utilisée pour verser de la farine dans des sacs étiquetés "500 g". Le poids X de farine qui est versé peut évidemment varier quelque peu d'un sac à l'autre. Toutefois, la machine peut être réglée de telle sorte que la variable aléatoire X se distribute selon une loi normale de moyenne u et d'écart type de 2.5g. On peut aussi supposer que la quantité de fraine versée dans chaque sac est indépendante de celle versé dans tout autre sac.

Un inspecteur d'une agance gouvernementale visite l'usine afin de s'assurer que les règlements sur l'étiquetage sont bien respectés. Il prélève 20 sacs parmi ceux qui viennent d'être remplis par la marchine et il pèse le contenu de chacun à l'aide d'une balance très précise. Il suffit que l'un des sacs pèse moins de 500 g pour qu'il émette un constat de non-conformité.

Question
Si la machine est réglée de telle sorte que la quantité moyenne u versée soit égale à ce qui est indiqué sur le sac, quelle est la probabilité que l'inspecteur émette un avis de non-conformité?

Question
À combien devrait être réglée la moyenne u afin de réduire à 5% au moins la probabilité pour un constat de non-conformité soit émis?

Question
En supposant que la machine soit réglée de telle sorte que u soit égal à la quantité calculée en b) et que l'inspecteur décide de vérifier 40 sacs plutôt que 20, quelle est alors la probabilité pour qu'il observe au moins unsac contenant moins de 500g de farine?

Question
En supposant que la machine soit réglée de telle sorte que u soit égal à la quantité calculée en 2) et que 4 800 sacs soient remplis par jour, que sait-on sur la quantité totale de farine versée dans ces sacs?

Question
En supposant que la machine soit réglée de telle sorte que u soit égal à la quantité calculée en 2) quelle est la probabilité qu'au moins un des 4 800 sacs remplis dans une journée contienne moins de 500g de farine?

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Message par droopy le Ven 27 Nov 2009 - 8:49

1) si mu = 500 alors la proba que est de 1 (enfin de 0.999999046326, 1-0.5^20)

2) mu= 507 (506.998), faut résoudre (1-p)^20=0.95 pour avoir p et après pour avoir mu.

3) 0.0975 1-(1-p)^40

4) faut calculer la moyenne et je pense un intervalle de confiance

5) 1-(1-p)^4800 = 0.999995495306


Dernière édition par droopy le Lun 30 Nov 2009 - 9:07, édité 1 fois
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Message par wild133 le Dim 29 Nov 2009 - 19:42

En ce qui concerne la question 1, il faut tenir compte de l'écart type de 2.5g....donc a possibilité ne peut pas être de 1 mu=(497,5=<x<500) comment calcule-t-on la probabilité dans ce cas?

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Message par droopy le Lun 30 Nov 2009 - 8:59

1) il faut décomposer en deux étapes :
a) la première qu'elle est la probabilité d'observer un poids inférieur à 500g avec une loi normale de paramètre mu = 500 et sigma = 2.5 ? Réponse : p = 0.5. En effet quelque soit sigma, P(X < mu) = 0.5 puisque la loi normale est symétrique autour de la moyenne.
b) a nous donne la probabilité pour un sac, maintenant il faut calculer la proba d'observer au moins un sac avec moins de 500g parmi 20. Ca tu peux le voir comme étant la probabilité de faire au moins une fois pile lorsque tu jettes 20 fois une pièce. Le nombre de sacs de moins de 500g suit une loi binomiale de paramètre n=20 et p=0.5 (obtenu de a) --> B(20,0.5). De plus la proba d'observer au moins un sac est égale à 1-la proba d'observer 0 sacs de moins de 500g. Selon une loi binomiale de paramètre n et p les probabilités ce calcule avec la formule suivante :
Aide pour comprendre ce problème 36cfcd9699abc8366ecfff8d02063d11
dinc P(X=0) après simplification = q^(n-k) = (1-p)^n. Ici p = 0.5 et n est égale à 20 donc P(X=0) = 0.5^(20). Donc la proba d'observer au moins 1 sac de moins de 500g est égale à 1-0.5^(20) = 0.999999046326 autant dire quasiement 1.

2) la c'est l'inverse puisqu'il te faut partir de la loi binomiale pour remonter vers la loi normale. Deux étape :
a) ici il faut que 1-p(X=0) soit égal à 0.05. Donc P(X=0) =0.95. Et donc il te faut calculer p de tel sorte que (1-p)^n = 0.95 => (1-p)^20 = 0.95.
b) une fois que tu as p, maintenant il te faut calculer mu de telle sorte que la probabilité d'observer un poids inférieur à 500g soit égale à p : P(X<500g) = p avec X ~> N(mu,2.5). Ici il faut donc que l'intégrale entre -infini et 500 de la fonction de densité de la loi normale de paramètre mu (inconnu) et sigma (2.5) soit égale à p.

3) pareil que pour 1b) mais avec n=40 et p de 2a)

4) Ici ilm te faut calculer la moyenne et l'intervalle de confiance du poids de farine utiliser pour 4800 sacs.

5) même chose que pour 1b) mais avec n=4800 et p de 2a).
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Message par wild133 le Lun 30 Nov 2009 - 19:00

ok merci là je comprend mieux...

dernière question... comment on fais pour calculer la moyenne si l'on a seulement mu=507 sigma= 2.5

Je crois qu'il faut faire le calcul de l'espérance d'une variable aléatoire... mais j'comprend pas trop le principe pour le calcul...

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Message par droopy le Lun 30 Nov 2009 - 20:18

ne pas oublier :GIYF.

A partir de ça :
Aide pour comprendre ce problème 2a1b1f4c286fe187701499f5e8a0b779

je te laisse chercher pour la variance, et l'écart type ainsi que pour le calcul de l'intervalle de confiance de la moyenne.
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