Besoin d'un avis (question de probabilité basique)

Bonjour,

Je suis nouvelle sur le forum. Je m'appelle Melissa et suis en masteur 2 de statistiques.

J'ai besoin d'un avis concernant 2 des questions du devoir.

L'énoncé est le suivant:






Trois classes
d’âge sont considérées (1^ère colonne du tableau) et on désigne par x_i
le nombre de cas correspondant à la classe d’âge i parmi les N_1i
enfants vaccinés et y_i le nombre de cas parmi les N_0i non
vaccinés.





Classe d’âge
(mois) Vaccinés Non vaccinés


x N₁ y N₀


______________________________________________________________


1 [9 – 15] 16 90 62 109


2 [16 – 36] 60 449 34 84


3 [37 - 60] 33 413 3 19


______________________________________________________________


Total 109 952 99 212





La mesure standard de
l’efficacité d’un vaccin s’obtient de la manière suivante : dans le cadre
d’un modèle en « tout ou rien » (appelé communément modèle II), il
s’agit de la fraction p d’individus qui
s’ils sont vaccinés, passent de «susceptible d’être infecté» à
« complètement immunisé ». La fraction complémentaire 1-p a le même risque d’infection que la
population non vaccinée. On désigne par p₁ la probabilité
d’infection chez les vaccinés et p₀ la probabilité d’infection chez
les non vaccinés (au cours d’une période de temps donnée). Pour une classe
d’âge i, on considèrera donc p_0i, p_1i et p_i.







- Préliminaires


1)
En supposant qu’il y a indépendance d’un
individu à l’autre, quelle est la loi de probabilité du nombre de cas infectés
chez les vaccinés et chez les non vaccinés dans une classe d’âge (c’est
cette loi de probabilité qui sera utilisée dans la suite du devoir) ?
Cette hypothèse vous semble-t-elle raisonnable pour les maladies infectieuses ?


Xi binomiale (N1i,p1i)
Yi binomiale (N0i,p0i)


Je serais plus convaincue que Xi et Yi suivent une loi hypergeomitrique qui convergerait en loi binomiale (citée ci-dessus)
Ce qui me fait penser cela est le fait de recenser le nombre de malades chez les vaccinés et non vaccinés (ce qui peut correspondre à un tirage de boules au sort sans remise dans une urne; la binomiale étant un tirage avec remises)


Hypothèse d'indépendance non valable ici, car rubéole= maladie contagieuse => non indépendance des sujets



Qu'en pensez vous?







2)
Ecrire p_1i en fonction de p_0i
et p_i en déduire
l’efficacité p_i en fonction
de p_0i et p_1i. On notera cette fonction h : p_i = h(p_0i, p_1i).






Difficile; je ne comprends pas bien comment on peut prendre en compte le modèle II dans notre mesure de PI d'autant plus que la seconde indication de l'énoncé concernant 1-pi=P(M/V-)=po

Quelqu'un a une idée?

Je ne pense pas du tout que ce soit compliqué; mais à mon avis j'ai mal interpréte l'énoncé,et je j'ai l'impression de tourner en rond.

Quelqu'un a t'il une idée?


Je vous rermercie!
A bientôt!
Melissa

1) effectivement ça suit une loi binomiale, parce qu'on peut voir ça comme une distribution de Bernouilli répétée plusieurs fois :
un individu à une proba px d'être malade et 1-px de n'être pas malade et tu répètes ça Ni fois --> loi Binomiale

2) l'efficacité du vaccin ce sont les individus qui passent de vacciné à immunisé, autrement dit c'est la fraction des individus qui auraient du être malade s'il n'avait pas été vaccinée et qui ne le sont pas ...
Si on cherche a exprimer p1 en fonction de p0 :
p1 est la proportion des individus malades et vacciné et p0 est la proportion d'individu malades et non vaccinés
donc p1 ce sont les individus qui auraient du être malade - ceux qui ont été immunisées :
p1= p0*(1-p)
donc p= 1-p1/p0

Si tu regardes pour la première classe d'âge :
p1= 16/90= 0.178 et p0= 62/109= 0.569.

Si tout tes individus vaccinés ne l'avait pas été, tu te seras attendus à avoir N1*p0 individus malades, soit 90*0.569= 51.21 individus malade or tu en as 16 ça veut dire que sur les 51.21 tu en as 35.21 qui ont été immunisés. Donc la fraction des immunisés ici est de 35.21/51.21 = 0.688.

Si tu reprends le calcul tu as :
p= 1-p1/p0= 1-0.178/0.569= 0.688.

Merci beaucoup Droopy; ça permet de me débloquer la suite du devoir.

Par contre, quand tu parles de p1: proportion de malades et vaccinés, je voyais plutôt: p1= proportion de malades sachant qu'on est vacciné.

Tu me confirmes ton "et= intersection", ou c'est "une conditionnelle"?

Autre question: En 1):

La loi de X n'est elle pas plutôt une loi hypergeometrique, qui converge en binomiale. Ce qui m'amène à penser ça, c'est que chaque individu ne peut tomber malade qu'une seule fois. Donc la probabilité évolue avec le nombre de cas: un peu comme dans un tirage simultané de boules d'une urne?

Merci,
Melissa

pour ce qui est des termes exactes concernant p, p1 et p0 reprend ceux de ton énoncé.

1) non je ne pense pas, parce que les individus ne sont pas issus d'une urne pour laquelle tu connais le nombre de boules de chaque couleur, dans laquelle tu les tires sans remises. Ici tu as un échantillon d'individus issus d'une population. Pour chaque individu pris individuellement, il a une proba p d'être malade, 1-p de ne pas l'être :

Si sont des variables aléatoires de Bernoulli avec paramètre p, indépendantes et identiquement distribuées, alors leur somme N suit la Loi binomiale :

X1, ..., Xp étant les individus. C'est comme quand tu lances une pièce, tu as une proba p de faire pile, 1-p de faire face et 0 de faire autre chose. Or tu lances la pièce plusieurs fois et chaque lancé est indépendant, et à la fin tu compte le nombre de succès. --> suit une loi binomiale. Ici comme tu l'as dit l'hypothèse d'indépendance est sûrement fausse.

La proba n'évolue pas avec le nombre de cas. Ici tu as par exemple 16 individus malades sur 90, donc tu estimes que la probabilité des individus vaccinés à tombé malade à 16/90. Mais cette estimation c'est l'estimation de la proba d'être malade de la population des individus vaccinés. Si tu échantillonnes plus d'individus, tu ne t'attends pas à ce que cette proba varie, tu t'attends à ce qu'elle reste stable. Par exemple si tu vais échantilloné 300 individus au lieu des 90, tu t'attendrais à avoir 300*16/90 individus malades. La seule chose qui va faire varier ta probabilité c'est la variabilité d'échantillonnage, mais tu t'attends toujours à avoir une proba aux alentours de 16/90.

Ici il n'y a pas d'urne il y a des échantillons issus de populations :
La population des individus de classe d'âge 1 vacciné
La population des individus de classe d'âge 1 et non vacciné
La population des individus de classe d'age 2 ...

Ce n'est que mon avis, mais je crois que tu vois les choses comme une unrne car tu considères ton échantillon comme la population, or ce n'est qu'une fraction de celle-ci.

Encore merci d'avoir pris le temps de me répondre!
Je voyais effectivement comme la population en ayant oublié l'idée que ça n'était qu'un échantillon.

Si je peux une dérnière fois abuser de votre aide:
Je rencontre une difficulté à la question suivante.
On doit en effet calculer la vraisemblance l(p0,pi). (On a une précision: c'est qu'on doit poser X=x1+x2=x3, Y=y1+y2+y3, N1=N11+N12+N13 et N0=N01+N02+N03)

Si je comprends bien: il faut calculer la loi de X+Y, en sachant que Xi~Binomiale(N1,p1)
Yi~Binomiale (N0,p0)
On avait établi la relation suivante (question précédente):
p1=p0(1-pi)
que l'on peut remplacer dans l'expression de Yi~Binomiale(N1,p0(1-pi))

De ce fait Xi et Yi ne sont pas indépendantes,car elles varient toutes les 2 en fonction de p0?

Ce qui complique nettement les calculs de la loi Xi+Yi (je n'arrive pas à trouver une loi explicite)

2ème possibilité:
Je pensais calculer la vraisemblance l(p0,pi) à partir de la loi de Yi; mais alors les notations suggérées dans l'énoncé concernant les Xi et les N0i ne servent à rien!

Je suis perdue, et je ne sais pas par quel bout prendre la question...

Merci encore,
Melissa

de rien.

Par contre ta dernière question n'est pas claire du tout. Tu veux calculer la vraisemblance de quoi par rapport a quoi ? est-ce que tu peux recopier la question qui t'est posée ou explicitée ce que tu veux faire ?

En fait, il s'agit de la question (B-1) qui suit les 2 autres dont on a discuté ensemble:

**A- Préliminaires**

**1) En supposant qu’il y a indépendance d’un individu à l’autre, quelle est la loi de probabilité du nombre de cas infectés chez les vaccinés et chez les non vaccinés dans une classe d’âge (c’est cette loi de probabilité qui sera utilisée dans la suite du devoir) ?
Cette hypothèse vous semble-t-elle raisonnable pour les maladies infectieuses ?**

2) Écrire p_1i en fonction de p_0i et p_i en déduire l’efficacité p_i en fonction de p_0i et p_1i. On notera cette fonction h : p_i= h(p_0i, p_1i).


**B- On suppose que les probabilités d’infection p_0i et p_1i sont identiques et respectivement égales à p₀ et p₁ pour les 3 classes d’âge.**

1) Écrire la vraisemblance l(p₀, p_i) et la log-vraisemblance (on notera x=x₁+x₂+x₃,y=y₁+y₂+y₃, N₁=N₁₁+N₁₂+N₁₃, N₀=N₀₁+N₀₂+N₀₃).

C'est cette vraisemblance que j'ai du mal à calculer.

Melissa

je pense qu'il faut repartir des deux lois binomiales ... après je ne sais pas s'il faut estimer ou pas le mélange de lois, mais la vraisemblance de tes observations selon p0 et p1 ça donne ça :

en fait dans la formule ce n'est pas p1 mais pi. A force avec les notations je m'y perds.

Merci Droopy!

Je voyais la vraisemblance comme une sorte de probabilité;je ne pensais pas qu'on pouvait multiplier les lois de X et Y: c'est bien parce qu'elles sont indépendantes l'une de l'autre?

Sinon pour l'insertion des formules qu'avez vous utilisé?

J'ai pu terminer mon DM; en ayant trouvé des estimateurs efficaces et sans biais; donc ça devrait être bon je suppose!

En tout cas, encore merci pour l'aide!


Melissa

la vraisemblance EST une probabilité. la première partie de la formule calcule la probabilité d'observer x malades parmi N1 avec une proba pi --> la proba d'observer 109 individus malade parmi 952 individus et la deuxième partie concerne la proba d'observer 99 malades parmis 212 individus non vaccinés avec une proba p0. Comme on considère que les distributions sont indépendantes alors la proba d'observer 109 malades d'un côté et 99 de l'autre se multiplient. Ce sont juste deux probas issus de deux lois binomiales qui sont multipliées. P(X=x|B(Ni,pi)) * P(Y=y|B(No,p0))

Pour les formules je l'ai tapé avec l'éditeur de formule d'office, j'en ai fait une capture d'écran je l'ai sauvegardé en gif et posté sur imageshack.us. Après sur le forum tu cliques sur insérer une image et tu copies le lien que tu obtiens avec imageshack.

On aurait pu faire tout ça avec un glm et une distribution binomiale. C'est peut-être à ça que tend ton DM ?

Bien vu pour le GLM, c'est la dérnière partie du DM!

J'ai encore une petite question à vous poser, concernant la loi asymptotique de mon estimateur. C'est une notion qu'on a rapidement abordé en cours et qui me semble fondamentale.

[size=12]On nous demande la loi asymptotique de l'estimateur piE:
Il s'agit de l'estimateur obtenu à partir de la dérivée partielle de la logvraisemblance par rapport à p0:




avec x=x₁+x₂+x₃
N₁=N₁₁+N₁₂+N₁₃, et p0=P(M/V-)

Sachant que mon estimateur est sans biais et efficace.

Je n'arrive pas exactement à voire ce que je dois transformer pour appliquer la loi des grands nombres et le TCL à cet estimateur.

que représente piE ? la précision de ton estimateur ou plutôt le biais de ton estimateur ?

Si je comprends bien X est le nombre observé de malade et N1*po le nombre de malade théorique suivant p0. Donc si les deux concordes X/(N1*p0) devrait tendre vers 1 et 1-1 vers 0.

En fait c'est l'estimateur dont je cherche la loi asymptotique; (je l'ai appellé piE dans mon poste précédent)

certes, tu l'as déjà dit mais disons que répéter les choses ne les rends pas moins obscure.

En tout cas ce qui est sure c'est que la limite de cette estimateur en +Inf tend vers 0. Ce qui est un peu normale parce que tu as X/N1 qui est lui même une estimation de p0, donc piE = 1 - p0^/p0
p0^ étant une estimation de p0.

si ton estimateur est asymptotiquement sans biais alors tu as :

donc pie devrait asymptotiquement tendre vers 0.

Bonjour!

Merci, c'est exactement ça!
Je pense bien avoir réussi mon devoir, notamment grâce à votre aide!

Je pense être de retour notamment lors de mon stage!
A bientôt!

Melissa