statistique de test

Bonjour la famille! J'ai un petit problème j'aimerais que vous me donnez des idées svp!
Voici le problème : \begin{align*}
\hat{V}_{1}^{n}&=\sum_{k=1}^{+\infty}\hat{\lambda}_{k}(\hat({V}_{12}^{n})\hat{u_k}\otimes\hat{u_k}) \\

\hat{V}_{2}^{n}&=\sum_{l=1}^{+\infty}\hat{\mu}_{l}(\hat{V}_{12}^{n}\hat{v_l}\otimes\hat{v_l}). \\

V_{12}^{n}&=n^{-1}\sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-\overline{Y}^{n})\otimes(X_{i}-\overline{X}^{n}).

\end{align*} On pose $\quad V_{12}=\mathbb{E}\big((Y-E(Y))\otimes(X-E(X))\big)=V_{21}^{\ast}$.

Mon test est le suivant.
Voici ma statistique de test. $$

\hat{S}^{n}=tr\big((\hat{V}_{1}^{n}+\alpha_{n}I_1)^{-1}\hat{V}_{12}^{n}(\hat{V}_{2}^{n}+\alpha_{n}I_2)^{-1}\hat{V}_{21}^{n}\big).

$$ Maintenant à ce niveau j'aimerais connaître la loi de ma statistique de test sous $H_0$.

S'il y a des informations que je dois compléter au cas où le problème est toujours mal posé je compte sur vous pour me faire signaler.

Je pense que pas forcement beaucoup de personnes sur ce forum sont capable de lire du LaTeX. Je vous conseillerais de fournir les équations sous un autre format (en bmp?). Eric.

OK merci je vais recommencer !...