Z-test T-test

Bonjour,

j'ai deux population de taille n1 et n2, respectivement de moyenne a et a'.


pour un test Z afin de comparer deux moyennes (n1>30 et n2>30), on utilise la propriété :

m1->loi normale N(a,b)
m2-> N(a',b')
=> m1-m2 -> N(a-a', b+b')


Pour un test de student par contre (n1<30 ou n2<30), il faut toujours vérifier l'égalité des variances (sinon utiliser un welsh test).
Je me demandais : pourquoi??
Pour utiliser le test, il faut que les données soient normalement distribuées donc
m1->loi normale N(a,b)
m2-> N(a',b')
=> X1-X2 -> N(a-a', b+b') qui suit une loi normale???

Mais pourtant on utilise la variance estimée sur l'ensemble de la population, après avoir testé l'égalité des variances, pour les calculs de la valeur du test.

Vous savez pourquoi?

Merci!

C'est quoi exactement la première question? Pourquoi faire un test de Student ou de Welch en fonction de l'égalité ou non des variances au sens statistique ou bien pourquoi la tester si les effectifs dans l'une des deux classes sont trop faibles? Dans le premier cas, tu devrais regarder du côté du problème de Berhens-Fisher qui explique qu'on résout mal ce problème sauf si on a qu'une seul matrice de variance/covariance globale et dans le cas contraire la seule solution se donne par l'approximation de Sattherwaise.

Je te conseille vraiment de vérifier ce que je viens de dire car c'est un souvenir que j'ai quand je bossais sur la fonction de Fisher (le test de Student étant lié à cette fonction) et si ça se trouve je te dis n'importe quoi.

La seconde question, si tu demandes réellement si la différence de deux variables aléatoires indépendantes et suivants une loi normale donne une loi normale d'espérance a - a' et de variance b + b', alors la réponse est oui (cf ce document par exemple: http://www.proba.jussieu.fr/users/lma/enseignement/DEUG/Introproba/intp8.PDF, à changement de signe prés).

Pour ta troisième question, il me semble que tu y réponds toi même en citant les deux tests dans le cas où les variances ne sont pas égales.

Merci pour ta réponse et c'est vrai que mon post n'était peut-être pas super clair, en le relisant à tête reposée je m'en rends compte... La troisième question était bien la même que la première en fait.

Je me renseigne donc sur le problème de Berhens-Fisher qui a l'air de répondre à toutes mes interrogations.

Si je comprends bien, on dit qu'au delà de 30 individus, les variances sont considérées comme connues... et donc, même si les variances ne sont pas égales, le problème de Berhens-fisher ne se posent plus, on oublie la loi de Student également ; on fait le test Z avec l'utilisation des proporiétés sur les loi normales, en particulier la stabilité X1+X2.

En deçà de 30 individus, si nous avons affaire à des distributions normales, alors on rentre dans le cadre de Berhens-Fisher. C'est à dire que la différence des deux moyennes ne suit pas une loi normale N(a-a',b+b') mais une loi de Student à n1+n2-2 ddl. De plus, si les variances ne sont pas égales, alors le nombre de degré de liberté doit être corrigé via l'approximation Satterthwaite sur le nombre de degré de liberté.

Est-ce bien résumé?

Merci