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somme indépendante de Khi deux

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Message par popotam Sam 28 Oct 2006 - 14:00

Bonjour,

Si Y et Z suivent une loi du Khi2(m) et Khi(2)(n) respectivement, si X est indépendante de Y et que l'on a X+Y=Z, est-il bien vrai que X suit alors une loi du Khi2(n-m) ? Et comment démontre-t-on cela ?

popotam

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Message par jb Lun 30 Oct 2006 - 8:32

Salut,

il me semble que ça doit être ça, pour la démonstration il faut montrer que la proba que Z=k a une forme de proba de Khi deux... mais il faudrait que je retrouve des bouquins de probas. bon courage

jb

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Message par Enzo Lun 30 Oct 2006 - 9:50

Bonjour,

En utilisant le fait qu'un khi2 à p ddl n'est rien d'autre qu'une somme de p N(0,1)² indépendantes, le résultat est immédiat, non?

Enzo

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Message par popotam Lun 30 Oct 2006 - 13:15

Rolling Eyes hhmmm.. Enzo soit je suis stupide et je ne vois pas l'évidence dont tu parles soit tu as mal lu ma question Suspect

popotam

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Message par Enzo Lun 30 Oct 2006 - 13:58

Tu devrais trouver des choses qui t'intéressent là dedans :

http://newton.mat.ulaval.ca/pages/belisle/Notes-tableaux/Lois-khi2-t-F.pdf

Enzo

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Message par popotam Lun 30 Oct 2006 - 15:24

Merci pour le lien, mais non je n'y vois pas la réponse à ma question.

popotam

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Message par Kolmogorov Lun 30 Oct 2006 - 17:08

popotam a écrit:Merci pour le lien, mais non je n'y vois pas la réponse à ma question.

RRhooo ben alors popotam ! Il est très bien ce petit lien !

Tu peux avoir la réponse avec la propriété (iv) (page 3/20).

Tu sais que X + Y ~ Khi2(n)

Tu sais également que X et Y sont indépendantes.

Tu sais aussi que X ~ Khi(m)

Tu sais aussi, d'après la propriété iv, que si X ~ Khi2(p) et Y ~ Khi2(q) avec X et Y indépendantes, alors X + Y ~ Khi(p+q).

Tu as la loi de X et la loi de X+Y et tu sais que X et Y sont indépendantes, donc tu déduis immédiatement que Y ~ Khi2(n-m).

En effet, tu as alors X + Y ~ Khi2 (m + n-m) i.e. une khi2(n)

Après si tu veux la démonstration de la propriété iv, c'est exactement ce qu'a dit Enzo : tu pars de la définition d'une loi du Khi 2 à p DDL (somme de p N(0,1)² ) et tu verras que cette propriété iv est immédiate ! En effet, tu vas voir que sommer p N(0,1)² avec q N(0,1)² revient à sommer p+q N(0,1)², c'est à dire un Khi2(p+q) !!!

Bon là si tu n'as pas compris c'est que tu y mets de la mauvaise volonté ! geek
Kolmogorov
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Message par popotam Lun 30 Oct 2006 - 18:23

Je connais bien cette propriété mais elle ne répond pas à ma question.

Cette propriété dit : Khi2(m)*Khi2(n)=Khi2(m+n)

Mais moi ce que je me demande c'est : si gamma est une probabilité telle que gamma*Khi2(n)=Khi2(m+n), est-ce que nécessairement gamma=Khi2(m) ?

popotam

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Message par popotam Lun 30 Oct 2006 - 18:32

... ah ben voilà puisque vous ne me suiviez pas j'ai fait un effort, je me suis dit que ça pourrait se démontrer à l'aide des fonctions caractéristiques, et en effet vu la fonction caractéristique d'une Khi-Deux ça se démontre facilement

bom

popotam

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