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Ecart-type population et écart-type échantillon
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Ecart-type population et écart-type échantillon
Bonjour,
Jury d'une de mes anciennes écoles, je corrige actuellement le rapport d'un de mes étudiants et une question m'interpelle.
Voici le cas :
l'étudiant analyse la conformité d'un produit fabriqué en effectuant des prélèvements toutes les heures.
Le but étant de calculer son écart-type afin de calculer sa capabilité etc...
Ce qui me gène c'est la formule utilisée σ=√((∑〖(xi-x ̅)²〗)/n) : formule de l'écart type pour une population.
D'après moi il serais plus judicieux d'utiliser la σ=√((∑〖(xi-x ̅)²〗)/(n-1)) : formule de l'écart type pour un échantillon.
On retire un degré de liberté pour compenser le biais que l'on a à travailler sur un échantillon.
Suis je dans le juste? Si oui , je bute sur une justification plus mathématique.
Si quelqu'un aurais le temps pour quelques explications.
Merci d'avance
Jury d'une de mes anciennes écoles, je corrige actuellement le rapport d'un de mes étudiants et une question m'interpelle.
Voici le cas :
l'étudiant analyse la conformité d'un produit fabriqué en effectuant des prélèvements toutes les heures.
Le but étant de calculer son écart-type afin de calculer sa capabilité etc...
Ce qui me gène c'est la formule utilisée σ=√((∑〖(xi-x ̅)²〗)/n) : formule de l'écart type pour une population.
D'après moi il serais plus judicieux d'utiliser la σ=√((∑〖(xi-x ̅)²〗)/(n-1)) : formule de l'écart type pour un échantillon.
On retire un degré de liberté pour compenser le biais que l'on a à travailler sur un échantillon.
Suis je dans le juste? Si oui , je bute sur une justification plus mathématique.
Si quelqu'un aurais le temps pour quelques explications.
Merci d'avance
Vinche- Nombre de messages : 2
Date d'inscription : 25/08/2016
Re: Ecart-type population et écart-type échantillon
Bonjour,
C'est effectivement la formule en n-1 qui est la bonne. Il ne s'agit pas d'une question de degré de liberté mais plutôt d'estimateur sans biais. En effet, l'estimateur s² est un estimateur biaisé de σ² (on sur- ou sous-estime systématiquement la vraie valeur de la population).
La division par n-1 au lieu de n permet de corriger le biais mais on perd généralement en précision.
Tout cela est vrai pour de petits échantillons car bien évidemment quand n devient grand n-1 est peu différent de n.
Nik
C'est effectivement la formule en n-1 qui est la bonne. Il ne s'agit pas d'une question de degré de liberté mais plutôt d'estimateur sans biais. En effet, l'estimateur s² est un estimateur biaisé de σ² (on sur- ou sous-estime systématiquement la vraie valeur de la population).
La division par n-1 au lieu de n permet de corriger le biais mais on perd généralement en précision.
Tout cela est vrai pour de petits échantillons car bien évidemment quand n devient grand n-1 est peu différent de n.
Nik
Nik- Nombre de messages : 1606
Date d'inscription : 23/05/2008
Re: Ecart-type population et écart-type échantillon
Merci pour cette réponse qui confirme les recherches que j'ai déjà effectué.
Existe t'il une démonstration mathématique pour justifier ce choix?
Encore merci pour votre célérité à répondre
Vince
Existe t'il une démonstration mathématique pour justifier ce choix?
Encore merci pour votre célérité à répondre
Vince
Vinche- Nombre de messages : 2
Date d'inscription : 25/08/2016
Re: Ecart-type population et écart-type échantillon
Bonjour.
On trouve ça dans tous les cours sur l'estimation. A propos de l'estimation d'une variance (en fait, c'est la variance qui est estimée, puis on prend la racine carrée, l'estimation d'un écart type étant délicate).
Cordialement.
On trouve ça dans tous les cours sur l'estimation. A propos de l'estimation d'une variance (en fait, c'est la variance qui est estimée, puis on prend la racine carrée, l'estimation d'un écart type étant délicate).
Cordialement.
gg- Nombre de messages : 2174
Date d'inscription : 10/01/2011
Re: Ecart-type population et écart-type échantillon
Juste pour compléter :
Et oui, il existe effectivement une démonstration/explication mathématique de ce terme en "n-1", qui n'est pas très compliquée d'ailleurs.
HTH, Eric.
Formuler comme ca, c'est ambiguë. C'est plutôt le contraire. La formule en "n" est l'écart-type de l'échantillon, et celle en "n-1" est pour la population (estimée à partir de l'échantillon).Vinche a écrit:Ce qui me gène c'est la formule utilisée σ=√((∑〖(xi-x ̅)²〗)/n) : formule de l'écart type pour une population.
D'après moi il serais plus judicieux d'utiliser la σ=√((∑〖(xi-x ̅)²〗)/(n-1)) : formule de l'écart type pour un échantillon.
Et oui, il existe effectivement une démonstration/explication mathématique de ce terme en "n-1", qui n'est pas très compliquée d'ailleurs.
HTH, Eric.
Eric Wajnberg- Nombre de messages : 1237
Date d'inscription : 14/09/2012
Re: Ecart-type population et écart-type échantillon
@Vinche
Correction de Bessel
C'est wikipedia donc à vérifier dans un bouquin de stats...
Correction de Bessel
C'est wikipedia donc à vérifier dans un bouquin de stats...
Nik- Nombre de messages : 1606
Date d'inscription : 23/05/2008
Re: Ecart-type population et écart-type échantillon
ici aussi.
Eric.
Eric.
Eric Wajnberg- Nombre de messages : 1237
Date d'inscription : 14/09/2012
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