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Calcul d'effectifs loi binomiale à 2 inconnues

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Calcul d'effectifs loi binomiale à 2 inconnues

Message par Namkaa le Lun 4 Avr 2016 - 8:59

Bonjour,
Je suis devant un problème que je n'arrive pas à résoudre, j'espère que je serais assez claire dans mes explications.

En fait je cherche à connaitre les effectifs d'une espèce sur un territoire donné, en considérant que la probabilité de détection de cette espèce suit une loi binomiale de paramètre n et p,
avec n le nombre d'individus réel et p la probabilité de détection des individus par un observateur :

Soit p la probabilité qu'un animal assigné a une place soit detecté par les observateurs. Ainsi, chacun des individus a une probabilité p d'être detecté, et une probabilité 1-p de ne pas être detecté. Pour un individu donné, le processus de détection peut alors être representé par une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
On a n individus en un lieu, donc l'opération de comptage est identique a n épreuves de Bernoulli indépendantes. On considère également "r" comme étant le nombre d'individus réellement détectés, avec r inférieur ou égal à n. Par ex, si p=1 alors r=n.

Sur chaque place de comptage, on a k sessions de comptages.

Donc si je comprends bien, ma loi binomiale serait :

p(X=k)= (n!/k!(n-k)!) x p^k x (1-p)^n-k avec X la détection d'un individu présent. Donc par exemple si je fais 3 comptages sur une place et qu'il y a 1 individu sur cette place, ma loi de Bernouilli serait p(X=3)=(1!/3!(1-3)!) x p^3 x (1-p)^1-3.

Seulement en pratique, je n'ai connaissance ni de n (l'effectif réel d'individu), ni de p (je ne sais pas quelle est la probabilité de détection d'un individu) et mon but est de connaitre n sachant que je connais le nombre de répétitions réalisées (k) et le nombre d'individu effectivement détecté lors des comptages (r).

J'ai lu une publication qui disait :

Si l'on n'avait qu'un seul comptage e ffectue sur la place, nous ne pourrions estimer a la fois n et p1 (car il faudrait alors estimer deux paramètres a partir d'une seule valeur : les parametres ne seraient alors pas identifi ables. Mais si nous disposons de comptages répetés (i.e. plusieurs valeurs de r pour une même place), si l'on suppose que p ne varie pas d'un comptage a l'autre, nous disposons alors de suffisamment d'informations pour estimer a la fois n et p.

Et c'est là que je bloque Shocked . Je ne comprends pas bien où insérer la donnée "r" du nombre d'individus détectés, ni comment estimer n, sachant que j'ai deux inconnues.

J'espère que j'ai été à peu près claire dans l'explication de mon problème et j'espère que l'un d'entre vous pourra m'aider à y voir plus clair.

Merci ! Smile

Namkaa

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Date d'inscription : 04/04/2016

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