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calcul covariance loi binomiale
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calcul covariance loi binomiale
Bonjour,
quelqu'un connait-il la démonstration de la covariance pour deux lois binomiales?
j'ai le résultat final, mais impossible de trouver la démonstration. Et je n'arrive pas à savoir d'ou vient mon erreur quand je la recalcule "à la main".
Merci beaucoup
Niaboc
quelqu'un connait-il la démonstration de la covariance pour deux lois binomiales?
j'ai le résultat final, mais impossible de trouver la démonstration. Et je n'arrive pas à savoir d'ou vient mon erreur quand je la recalcule "à la main".
Merci beaucoup
Niaboc
niaboc- Nombre de messages : 1001
Age : 37
Localisation : Paris
Date d'inscription : 05/05/2008
Re: calcul covariance loi binomiale
En particulier si on part de la formule cov(X;Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
pour une binomiale, l'espérance va être E(x)=np et et E(Y)=np'
On devrait avoir cov(X;Y)=E(XY)-n²*p*p'
Par contre, si on raisonne selon le nombre de pairs appariés.
Pour une Bernouilli nous avons :
cov(X;Y)=P(X=1 et Y=1)-p*p'
et pour une binomiale, si nous avons n paires appariée ça fait donc bien
cov(X;Y)|n =n*P(X=1 et Y=1)-n*p*p'.
Mais si on raisonne avec la formule de base, on se retrouve avec du n²... c'est donc le développement du E(XY) qui nous permettrait de retomber sur la bonne formule??
Niaboc
pour une binomiale, l'espérance va être E(x)=np et et E(Y)=np'
On devrait avoir cov(X;Y)=E(XY)-n²*p*p'
Par contre, si on raisonne selon le nombre de pairs appariés.
Pour une Bernouilli nous avons :
cov(X;Y)=P(X=1 et Y=1)-p*p'
et pour une binomiale, si nous avons n paires appariée ça fait donc bien
cov(X;Y)|n =n*P(X=1 et Y=1)-n*p*p'.
Mais si on raisonne avec la formule de base, on se retrouve avec du n²... c'est donc le développement du E(XY) qui nous permettrait de retomber sur la bonne formule??
Niaboc
niaboc- Nombre de messages : 1001
Age : 37
Localisation : Paris
Date d'inscription : 05/05/2008
Re: calcul covariance loi binomiale
Bonjour,
tu cherches quoi au juste ? La covariance de deux lois binomiales indépendantes ? de deux lois quelconques, de la somme des deux lois ?
E(XY)=n²pp'
cdlt
tu cherches quoi au juste ? La covariance de deux lois binomiales indépendantes ? de deux lois quelconques, de la somme des deux lois ?
E(XY)=n²pp'
cdlt
droopy- Nombre de messages : 1156
Date d'inscription : 04/09/2009
Re: calcul covariance loi binomiale
droopy a écrit:Bonjour,
tu cherches quoi au juste ? La covariance de deux lois binomiales indépendantes ? de deux lois quelconques, de la somme des deux lois ?
cdlt
La covariance deux v.a. qui suivent des lois binomiales... qu'elles soient indépendantes ou pas, la formule ne change pas (le résultat du calcul oui).
Si tu prends la formule de base du calcul de covariance et que tu l'appliques à 2 lois binomiales tu dois obtenir :
cov(X;Y)|n =n*P(X=1 et Y=1)-n*p*p'.
ça c'est vrai si X et Y sont indépendantes, et tu retombes sur cov(X;Y)=E(XY)-n²*p*p=0droopy a écrit:
E(XY)=n²pp'
cdlt
Mais dans un cas de non indépendance je reste bloqué sur : cov(X;Y)=E(XY)-n²*p*p
alors que la formule réelle est :
cov(X;Y)|n =n*P(X=1 et Y=1)-n*p*p'.
De part la présence de ce n², j'en conclus que le calcul de E(XY) a une expression peu intuitive?
niaboc- Nombre de messages : 1001
Age : 37
Localisation : Paris
Date d'inscription : 05/05/2008
Re: calcul covariance loi binomiale
effectivement, mais tout dépend des lois conditionnelles dans ces cas là. Selon la loi conditionnelle de X par rapport à y ou de y par rapport à X alors tu n'auras pas la mêmes espérance de XY, puisque :
cdlt
cdlt
droopy- Nombre de messages : 1156
Date d'inscription : 04/09/2009
Re: calcul covariance loi binomiale
Si on regarde les possibilités dans le cas de deux lois de Bernoulli on a :
Quand tu prends n paires appariées ça donne :
Quand tu prends n paires appariées ça donne :
droopy- Nombre de messages : 1156
Date d'inscription : 04/09/2009
Re: calcul covariance loi binomiale
droopy a écrit:Si on regarde les possibilités dans le cas de deux lois de Bernoulli on a :
Quand tu prends n paires appariées ça donne :
C'est là ou j'ai du mal car dans le cas de deux échantillons identiques, on devrait avoir :
cov(X,Y)=var(X)=var(Y)=np(1-p)=n*p-n*p².
Cov=E(XY)-E(X)E(Y).
Si je reprends ce que tu as écrit, ça me donne :
E(XY)=n*p
mais dans le même temps nous avons E(X)*E(Y)=n²*p².
or pour retrouver le calcul de la variance, il faudrait E(X)*E(Y)=n*p² ?
Niaboc
niaboc- Nombre de messages : 1001
Age : 37
Localisation : Paris
Date d'inscription : 05/05/2008
Re: calcul covariance loi binomiale
Haha! trouvé!
en fait l'espérance de E(XY) pour une binomiale a bien une forme moins intuitive.
Dans le cas de Y=X, nous avons E(XY)=E(X²) qui vaut :
n*(n-1)*P²
et on retombe bien sur nos pieds!
Niaboc
en fait l'espérance de E(XY) pour une binomiale a bien une forme moins intuitive.
Dans le cas de Y=X, nous avons E(XY)=E(X²) qui vaut :
n*(n-1)*P²
et on retombe bien sur nos pieds!
Niaboc
niaboc- Nombre de messages : 1001
Age : 37
Localisation : Paris
Date d'inscription : 05/05/2008
Re: calcul covariance loi binomiale
Es-tu sur ? Est-ce que ça ne serait pas plutôt :
E(X²) = V(X)+E(X)² = np(1-p)+(np)² = np(1-p+np)
E(X²) = V(X)+E(X)² = np(1-p)+(np)² = np(1-p+np)
droopy- Nombre de messages : 1156
Date d'inscription : 04/09/2009
Re: calcul covariance loi binomiale
oui, au temps pour moi, j'ai oublié le terme de "+np" au moment d'écrire le post.
C'est que pour trouver l'expression de E(X²) il faut passer par le théorème de transfert et l'espérance de X(X-1) qui vaut, quant à elle, n*(n-1)*P².
Niaboc
C'est que pour trouver l'expression de E(X²) il faut passer par le théorème de transfert et l'espérance de X(X-1) qui vaut, quant à elle, n*(n-1)*P².
Niaboc
niaboc- Nombre de messages : 1001
Age : 37
Localisation : Paris
Date d'inscription : 05/05/2008
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