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calcul covariance loi binomiale

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calcul covariance loi binomiale

Message par niaboc le Mar 22 Mar 2016 - 14:46

Bonjour,

quelqu'un connait-il la démonstration de la covariance pour deux lois binomiales?
j'ai le résultat final, mais impossible de trouver la démonstration. Et je n'arrive pas à savoir d'ou vient mon erreur quand je la recalcule "à la main".

Merci beaucoup

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Re: calcul covariance loi binomiale

Message par niaboc le Mar 22 Mar 2016 - 19:47

En particulier si on part de la formule cov(X;Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

pour une binomiale, l'espérance va être E(x)=np et et E(Y)=np'
On devrait avoir cov(X;Y)=E(XY)-n²*p*p'


Par contre, si on raisonne selon le nombre de pairs appariés.
Pour une Bernouilli nous avons :
cov(X;Y)=P(X=1 et Y=1)-p*p'
et pour une binomiale, si nous avons n paires appariée ça fait donc bien
cov(X;Y)|n =n*P(X=1 et Y=1)-n*p*p'.

Mais si on raisonne avec la formule de base, on se retrouve avec du n²... c'est donc le développement du E(XY) qui nous permettrait de retomber sur la bonne formule??

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Re: calcul covariance loi binomiale

Message par droopy le Mer 23 Mar 2016 - 13:03

Bonjour,

tu cherches quoi au juste ? La covariance de deux lois binomiales indépendantes ? de deux lois quelconques, de la somme des deux lois ?

E(XY)=n²pp'
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Re: calcul covariance loi binomiale

Message par niaboc le Mer 23 Mar 2016 - 13:34

droopy a écrit:Bonjour,

tu cherches quoi au juste ? La covariance de deux lois binomiales indépendantes ? de deux lois quelconques, de la somme des deux lois ?

cdlt

La covariance deux v.a. qui suivent des lois binomiales... qu'elles soient indépendantes ou pas, la formule ne change pas (le résultat du calcul oui).
Si tu prends la formule de base du calcul de covariance et que tu l'appliques à 2 lois binomiales tu dois obtenir :
cov(X;Y)|n =n*P(X=1 et Y=1)-n*p*p'.


droopy a écrit:
E(XY)=n²pp'
cdlt
ça c'est vrai si X et Y sont indépendantes, et tu retombes sur cov(X;Y)=E(XY)-n²*p*p=0

Mais dans un cas de non indépendance je reste bloqué sur : cov(X;Y)=E(XY)-*p*p
alors que la formule réelle est :
cov(X;Y)|n =n*P(X=1 et Y=1)-n*p*p'.

De part la présence de ce n², j'en conclus que le calcul de E(XY) a une expression peu intuitive?
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Re: calcul covariance loi binomiale

Message par droopy le Mer 23 Mar 2016 - 15:19

effectivement, mais tout dépend des lois conditionnelles dans ces cas là. Selon la loi conditionnelle de X par rapport à y ou de y par rapport à X alors tu n'auras pas la mêmes espérance de XY, puisque :


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Re: calcul covariance loi binomiale

Message par droopy le Ven 25 Mar 2016 - 13:20

Si on regarde les possibilités dans le cas de deux lois de Bernoulli on a :

Quand tu prends n paires appariées ça donne :
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Re: calcul covariance loi binomiale

Message par niaboc le Lun 28 Mar 2016 - 21:14

droopy a écrit:Si on regarde les possibilités dans le cas de deux lois de Bernoulli on a :

Quand tu prends n paires appariées ça donne :

C'est là ou j'ai du mal car dans le cas de deux échantillons identiques, on devrait avoir :
cov(X,Y)=var(X)=var(Y)=np(1-p)=n*p-n*p².

Cov=E(XY)-E(X)E(Y).

Si je reprends ce que tu as écrit, ça me donne :
E(XY)=n*p

mais dans le même temps nous avons E(X)*E(Y)=n²*p².

or pour retrouver le calcul de la variance, il faudrait E(X)*E(Y)=n*p² ?


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Re: calcul covariance loi binomiale

Message par niaboc le Lun 28 Mar 2016 - 22:02

Haha! trouvé!

en fait l'espérance de E(XY) pour une binomiale a bien une forme moins intuitive.
Dans le cas de Y=X, nous avons E(XY)=E(X²) qui vaut :
n*(n-1)*P²
et on retombe bien sur nos pieds!

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Re: calcul covariance loi binomiale

Message par droopy le Mar 29 Mar 2016 - 12:32

Es-tu sur ? Est-ce que ça ne serait pas plutôt :
E(X²) = V(X)+E(X)² = np(1-p)+(np)² = np(1-p+np)
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Re: calcul covariance loi binomiale

Message par niaboc le Mar 29 Mar 2016 - 15:32

oui, au temps pour moi, j'ai oublié le terme de "+np" au moment d'écrire le post.

C'est que pour trouver l'expression de E(X²) il faut passer par le théorème de transfert et l'espérance de X(X-1) qui vaut, quant à elle, n*(n-1)*P².

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