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Moindres carrés et décomposition de la variance

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Moindres carrés et décomposition de la variance Empty Moindres carrés et décomposition de la variance

Message par wasteland93 le Lun 8 Déc 2008 - 21:32

Bonjour à tous,

Je viens vers vous pour un éclairage sur le critère des moindres carrés et son lien avec la formule de décomposition de la variance.
Supposons que l'on dispose de données (t_n, y_n)_(1 <= n <= N) où t_n sont des instants d'observations (déterministes) et y_n (observations plus ou moins aléatoire). On cherche une fonction f_{theta}, où theta est un vecteur paramètre, qui modélise au mieux les observations.

On va donc tenter de minimiser le critère des moindres carrés (MC), ici ça donne
sigma^2_r(theta) = 1/N*somme_{n=1}^{N} [y_n - f_{theta}(t_n)]^2.

Notons theta*, le vecteur de paramètres qui minimise sigma^2_r.

Mon problème, c'est que j'aimerais savoir si on a bien dans ce cas :

variance empirique de (y_n) = variance de f_{theta*} + variance résiduelle???

Y a t-il une condition sur f_{theta} pour que ça marche?
Ai-je compris ce résultat?

Merci d'avance pour votre aide!

Bonne soirée.

wasteland93

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Moindres carrés et décomposition de la variance Empty Re: Moindres carrés et décomposition de la variance

Message par wasteland93 le Jeu 11 Déc 2008 - 13:12

Bon, je me réponds à moi même vu que j'ai fini par trouver la réponse...

En fait, la réponse est oui si et seulement si la constante fait partie du modèle f_{theta}. En gros ça veut dire qu'il faut pouvoir écrire f_{theta}( t ) = g_{theta'}(t) + theta_{0}.

Si la constante ne fait pas partie du modèle, alors on a la décomposition suivante (toujours valide celle-ci) :
||y||^{2} = ||f_{theta*}||² + variance résiduelle(theta*)

Voila. A+.

wasteland93

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