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loi de Poisson

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Message par julie Mer 27 Sep 2006 - 14:59

Bonjour,
J'aimerai vous soumettre un pb de statistiques que j'ai eu en examen ( je suis en PCEM1 mais les exercices, sont du niveau BTS ou licence math, ou même lycée surement... )

On suppose que dans cet exercice qu'un restaurant sur 1000 sert parfois de la viande avariée

1/ sur 2000 restaurants que compte une région R, soit N le nombre de ceux qui servent de la viande avariée. On demande quelle loi suit N.
On trouve que N suit une loi binomiale pouvant être approchée par une loi de Poisson de paramètre 2. ( moyenne = variance = 2)

2/ quelle probabilité qu'au moins un restaurant de la région R pose ce problème sanitaire ?
On trouve à l'aide des tables, ou de la formule 86%

3/ ( Et qui me pose problème) Albert va au restaurant tous les mois, il choisit au hasard à chaque fois. Au bout de combien d'années a t'il plus d'une chance sur trois d'avoir déjà mangé dans un restaurant servant de la viande avariée?
réponse : environ 34 ans.

Ma question est : comment obtient il ce résultat????

Merci d'avance
Julie.

julie

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Message par Kolmogorov Mer 27 Sep 2006 - 21:51

julie a écrit:Bonjour,
J'aimerai vous soumettre un pb de statistiques que j'ai eu en examen ( je suis en PCEM1 mais les exercices, sont du niveau BTS ou licence math, ou même lycée surement... )

On suppose que dans cet exercice qu'un restaurant sur 1000 sert parfois de la viande avariée

1/ sur 2000 restaurants que compte une région R, soit N le nombre de ceux qui servent de la viande avariée. On demande quelle loi suit N.
On trouve que N suit une loi binomiale pouvant être approchée par une loi de Poisson de paramètre 2. ( moyenne = variance = 2)

2/ quelle probabilité qu'au moins un restaurant de la région R pose ce problème sanitaire ?
On trouve à l'aide des tables, ou de la formule 86%

3/ ( Et qui me pose problème) Albert va au restaurant tous les mois, il choisit au hasard à chaque fois. Au bout de combien d'années a t'il plus d'une chance sur trois d'avoir déjà mangé dans un restaurant servant de la viande avariée?
réponse : environ 34 ans.

Ma question est : comment obtient il ce résultat????

Merci d'avance
Julie.

Bonjour Julie et bienvenue,

voici ma réponse à la question 3 :

Tout d'abord, "avoir déjà mangé dans un restaurant servant de la viande avariée" est équivalent à "avoir mangé au moins une fois dans un restaurant servant de la viande avariée".

Soit N le nombre de fois où Albert a mangé dans un restaurant qui sert de la viande avariée.

On sait que N suit une loi binomiale de paramètre (1/1000, n).

Ici ce sera n notre inconnue.

On veut que :

P(avoir mangé au moins une fois dans un restau qui sert de la viande avariée) = 1/3

<=> 1-P(avoir jamais mangé dans un restau qui sert de la viande avariée)=1/3

<=> P(avoir jamais mangé dans un restau qui sert de la viande avariée)=2/3

Si on formalise un peu, on a :

P(N=0) = 2/3

On suppose que n>30 (on vérifiera cette hypothèse une fois qu'on aura n). De plus, 1/1000 << 5, on peut donc approximer notre loi B(1/1000, n) par une loi de poisson de paramètre n/1000.

On a donc :

exp(-n/1000) * 2^0 / 0! = 2/3

<=>exp(-n/1000) = 2/3

<=> -n/1000 = ln(2/3)

<=> n=-1000 * ln(2/3)

<=> n=405 (environ)

Au passage on vérifie bien que notre hypothèse n>30 est bien justifiée...

Donc au bout de 405 restau, Albert a 1 chance sur 3 de s'être taper de la viande avariée (c'est les boules pour Albert quand même).

En année : 405 / 12 = 34 environ (on a en effet supposé qu'il y allait une fois par mois).

Voilà ! Si y a un passage pas clair, n'hésite pas à le dire j'expliquerai mieux.
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Message par julie Jeu 28 Sep 2006 - 14:45

Merci Kolmogorov pour la réponse immédiate.

Ton explication est bien faite. Merci

Je peux juste te demander si la question est censée être dur ou pas. Ou si c'est parce que je suis demeurée que je ne suis pas parvenue à avoir cette logique dans mon raisonnement?

Julie

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Message par Kolmogorov Ven 29 Sep 2006 - 21:19

julie a écrit:Je peux juste te demander si la question est censée être dur ou pas. Ou si c'est parce que je suis demeurée que je ne suis pas parvenue à avoir cette logique dans mon raisonnement?

Non ne t'inquiète pas, j'avouerai que je n'ai pas pondu la réponse immédiatement....scratch

Dans le domaine des probabilités, le secret c'est : s'entraîner à faire plein d'exercices. Les probabilités, c'est une façon de raisonner un peu spécial et on l'aquiert facilement en s'entrainant.

En tous les cas, n'hésite pas poster des questions si tu as besoin d'aide jocolor
Kolmogorov
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Message par julie Sam 30 Sep 2006 - 6:30

Aurais tu des livres à me conseiller???

Julie

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Message par Kolmogorov Sam 30 Sep 2006 - 8:55

Heu désolé mais là je n'ai pas de livres qui me viennent à l'esprit.

Je suppose que tu parles de bouquins d'exercices de proba.

Sinon y a un bon ouvrage de référérence en terme de probabilité et statistiques (mais avec presque pas d'exercice il me semble) :

http://www.editionstechnip.com/F/saporta_probabilites_analyse_donnees_147.asp

Après je ne sais pas s'il correspond au programme de ta formation...
Kolmogorov
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