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Estimation d'une loi discrète à 3 modalités

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Message par wasteland93 le Lun 11 Aoû 2008 - 19:51

Bonjour à toutes et à tous,

Voila, j'ai un problème de stats qui a l'air tout bête mais qui me crispe vraiment. Soit Estimation d'une loi discrète à 3 modalités 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383 une variable aléatoire à trois modalités. La loi de Estimation d'une loi discrète à 3 modalités 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383 est donc définie par :
Estimation d'une loi discrète à 3 modalités 298e45fb53328550d9b4d44b70baa82c

Bon, et là on suppose qu'on dispose de Estimation d'une loi discrète à 3 modalités 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1 réalisations issues de Estimation d'une loi discrète à 3 modalités 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383 genre par exemple :
Estimation d'une loi discrète à 3 modalités F1d291f8addc49faee33a62b8d08b970,
ce qui peut également se mettre sous la forme de la matrice suivante :
1 0 0 => 1
1 0 0 => 1
1 0 0 => 1
0 1 0 => 2
1 0 0 => 1
0 0 1 => 3
0 0 1 => 3
0 1 0 => 2
0 0 1 => 3
1 0 0 => 1

On sait alors que l'estimateur de maximum de vraisemblance de Estimation d'une loi discrète à 3 modalités Be65790de965e5d4d1fdb314b48e3c76 est donné par
Estimation d'une loi discrète à 3 modalités Fa942203b7ecfe5996b59a76bc48c6f2
Estimation d'une loi discrète à 3 modalités F75ef7544498f247df440d828aee41aa est le nombre de fois où la valeur Estimation d'une loi discrète à 3 modalités 865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741 apparait dans les réalisations. Ex : on a 10 observations, on observe 5 "1", 2 "2" et 3 "3", ce qui donne :
Estimation d'une loi discrète à 3 modalités 30815b1cf8f0efc7c3463943b1011367
Voila, ça c'est le cas classique que tout le monde aime bien.

Supposons maintenant que les données que l'on a pour faire notre estimation soient floues, genre :
1/3 1/3 1/3 => donnée floue
1/2 1/2 0 => donnée floue
0 1 0 => donnée complète 2
1/6 1/3 1/2 => donnée floue
0 0 1 => donnée complète 3
...
Pour fixer les idées, la première donnée indique que l'on a autant de chances d'avoir observé un 1, un 2 ou un 3. En gros, l'observation est totalement imprécise. La seconde observation est moins imprécise puisque l'on sait que ce n'est pas un 3, etc...

Et là, c'est le drame. J'arrive pas à écrire l'estimateur du maximum de
vraisemblance dans ce cas (il existe peut-être pas...). Si quelqu'un a une idée, une réf, n'importe quoi, je suis preneur! Merci d'avance!!!
Bonne soirée.

wasteland93

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Message par wasteland93 le Mer 13 Aoû 2008 - 14:51

Personne n'aime mon problème.... J'ai pas de chance...
C'est parce que c'est trop simple ou trop dur?

wasteland93

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Message par Jonathan le Jeu 14 Aoû 2008 - 23:54

Bonjour,

Moi je vois la solution ainsi: tu fais la même chose qu'avec des unités sauf que là tu attritbus une proportion de cette unité à chaque résultat qui est susceptible d'avoir été observé avec la probabilité qui lui est propre.

Dans ton exemple ça donnerait ceci:

Donnée 1: P(on a observé 1) = 1/3; P(on a observé 2) = 1/3; P(on a observé 3) = 1/3
Donnée 2: P(on a observé 1) = 1/2; P(on a observé 2) = 1/2 ; P(on a observé 3) = 0
Donnée 3: P(on a observé 1) = 0; P(on a observé 2) = 1 ; P(on a observé 3) = 0
Donnée 4: P(on a observé 1) = 1/6 ; P(on a observé 2) = 1/3 ; P(on a observé 3) = 1/2
Donnée 5: P(on a observé 1) = 0; P(on a observé 2) = 0; P(on a observé 3) = 1

Donc,
estimation de Têta1
= [(1/3) + (1/2) + 0 + (1/6) + 0 ] / 5 = 0,2
estimation de Têta2
= [(1/3) + (1/2) + 1 + (1/3) + 0 ] / 5 = 0,4333
estimation de Têta3 = [(1/3) + 0 + 0 + (1/2) + 1 ] / 5 = 0,3667

En tout cas, c'est comme ça que je vois les choses...
Jonathan
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Message par Jonathan le Ven 15 Aoû 2008 - 18:44

Est-ce que tu as compris un peu le principe? En fait, ce n'est pas vraiment plus compliqué que ce que tu faisais avant...
Jonathan
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Message par wasteland93 le Ven 15 Aoû 2008 - 20:24

Merci de ta réponse. J'ai bien compris le principe d'autant que j'utilise moi-même cette intuition. Cependant, as-tu une référence bibliographique permettant de valider cette approche? J'ai peur que ce ne soit pas si simple... affraid

wasteland93

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Message par Jonathan le Sam 16 Aoû 2008 - 0:06

En y repensant, tu as bien raison et je crois que j'ai bel et bien sous-estimé le problème Neutral. J'ai tenté de résoudre le problème de façon rigoureuse et je n'y suis pas parvenu. Je dois avouer que ça dépasse un peu mon petit niveau de compétence en probabilité...

Bonne chance! Wink
Jonathan
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