espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

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espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par fokof le Sam 11 Jan 2014 - 13:09

Une expérience aléatoire « lancement simultané de 36 dés » est répétée n=100 fois de façon indépendante. Considérons le vecteur aléatoire (X1,…,Xn) où Xi=« somme des dés au i-ème lancement » et le vecteur aléatoire (V1,…,Vn) où Vi=« Obtention d’au moins un 3 au i-ème lancement». Considérons les variables d’échantillonnage :
X ̅   = Somme de Xi/n (avec i allant de 1 à n =100)            et      V ̅ = Somme de Vi/n (avec i allant de 1 à n =100)

Quelle est l’espérance de  X ̅ ?
Quelle est la variance de  X ̅ ?
Quelle est l’espérance de V ̅ ?
Quelle est la variance de V ̅ ?
Calculez si cela est possible l’intervalle de fluctuation à 95% de la somme moyenne des dés observée.
Calculez si cela est possible l’intervalle de fluctuation à 95% de la proportion d’obtention d’au moins un 3 observée.
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fokof

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par gg le Sam 11 Jan 2014 - 13:17

Bonjour.

Comme c'est l'exercice que tu as à faire, il serait bon de le faire, car c'est toi qui dois apprendre. En tout cas, tu peux faire les questions qui concernent X (application directe du cours). Pour V, comme "« Obtention d’au moins un 3 au i-ème lancement» n'est pas un nombre (c'est un événement), ce n'est pas, ainsi défini, un vecteur aléatoire.

Cordialement

gg

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Mer 22 Jan 2014 - 16:28

bonjour
votre exercice ressemble beaucoup au mien , et j'aimerai savoir si vous aviez eu des aides pour résoudre ce problème

personnellement, je comprends le calcul de l'espérance comme étant la moyenne de (sommes possibles de la variable X x probabilité d'obtenir cette somme) mais je ne sais pas comment effectuer ce calcul et surtout s'il est possible de le faire à a main ou s'il faut utiliser un logiciel de statistiques ...?
je vous remercie d'avance pour votre aide

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par gg le Mer 22 Jan 2014 - 20:14

Les X1 suivent indépendamment une loi bien connue ... à déterminer si on ne l'a jamais rencontrée (avant de traiter le cas de 36 dés, regarder avec 2 dés, puis 3).

Pas vraiment de statistiques dans cet exercice, seulement des probabilités.

Cordialement.

gg

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Dim 26 Jan 2014 - 15:01

bonjour
merci encore pour l'aide

si on lance 2 dés : on aura les valeurs de X pouvant aller de 2 (2 fois la face "1" ) à 12 (2 fois la face "6") ;

on aura donc l'espérance E(X) = somme (2 x probabilité d'obtenir "2" + 3 x probabilité d'obtenir "3" ... + 12 x probabilité d'obtenir "12")

mais comment obtenir la probabilité d'obtenir un 2 , ou un 3 , ou un 4 .... jusqu'a 12 ?

merci encore

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Dim 26 Jan 2014 - 15:03

dans l'exercice des 36 dés , on aura les valeurs de X pouvant aller de 36 (36 fois la face "1" ) à 216 (36 fois la face "6") .

comment trouver les probe d'obtenir 36 , 37, 38 .... 216 ?

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Dim 26 Jan 2014 - 15:21

peux ton dire que X suit une loi binomiale ?

si oui , quelle est la différence entre X suit une loi binomiale et X suit approximativement une loi binomiale ?

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par gg le Dim 26 Jan 2014 - 19:52

Bonsoir.

"mais comment obtenir la probabilité d'obtenir un 2 , ou un 3 , ou un 4 ....jusqu'a 12 ? "
C'est un exercice de base, pour débutants. En prenant l'univers des tirages (valeur du premier dé;valeur du deuxième), on a de façon évidente 36 cas équiprobables. Il reste à compter les cas où on a 2, puis 3, ...puis 12.
Il ne s'agit pas de la loi binomiale, mais d'une loi simple. Trouve-la.

Cordialement.

gg

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Dim 26 Jan 2014 - 19:57

du coup il s'agit d'une loi normale ?

je comprends tout a fait les 36 cas équiprobables pour un lancement de 2 dés , 6 faces possibles par dés , donc 6^2 = 36 cas possibles ... mais dans l'exemple du dessous , nous avons 36 dés ! donc 6^36 cas équiprobables , est ce correct ?

du coup , je ne comprends pas trop pour le lancement des 36 dés, faut il que je pause sur une feuille toutes les combinaisons possibles ??


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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Dim 26 Jan 2014 - 20:10

et pourquoi ce n'est pas une loi binomiale ?
cela ne peu pas être une loi de poisson , ni bernouilli , donc je ne sais pas trop ...

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par gg le Dim 26 Jan 2014 - 20:18

Pourquoi voudrais-tu que ce soit l'une des trois lois que tu cites. Il y a une infinité de lois.

Allez, sois sérieuse, regarde la loi de cette variable. Sans chercher à imaginer une réponse à priori. Si tu ne peux pas faire cet exercice de débutant, celui que tu as à faire est trop difficile ...

gg

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Dim 26 Jan 2014 - 20:26

car je ne connais pas d'autres loi
pour moi c'est une variable aléatoire ...

est ce possible de m'expliquer pourquoi ce n'est pas une loi normale ?

je dois pourtant trouver la solution pour le début de la semaine, si je veux valider mon semestre ... je te remercie de m'aider, mais peux tu me mettre sur la voie ?

je pense avoir la solution pour le lancement de 2 dés, les sommes des dés peuvent aller de 2 (2 dés à 1) à 12 (2 dés à 6) , avec 36 cas possible (correspond à 6 x 6 ) , d'ou la probabilité de
1/36 d'obtenir un 2 ,
2/36 d'obtenir un 3 ...
jusqu'a 1/36 d'obtenir un 12

j'ai poser les dés , et regardé les combinaisons possibles

d'ou dans ce cas, l'espérance est
E(X) = SOMME xi pi = 2 x 1/36 + 3 x 2/36 + ... + 12 x 1/36
est ce correct ?

en revanche, peux tu m'aider à résoudre le problème plus complexe du lancement des 36 dés, 100 fois ??
car j'ai l'impression que tu t'y connais bien en statistiques / proba .. mais souhaites tu m'aider ?

attention je ne demande pas la solution , juste m'aider à trouver la solution

merci encore

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par gg le Dim 26 Jan 2014 - 21:49

"est ce possible de m'expliquer pourquoi ce n'est pas une loi normale ? " parce que c'est une variable discrète. Les variables Normales sont continues.

Dans le cas de deux dés, la loi est maintenant connue (y compris par toi) : les valeurs 2,3,...12 ont pour probabilités 1/36, 2/36, ...1/36 avec augmentation jusqu'à 6/36 pour 7.

Tu en as déduit l'espérance, et tu pourrais calculer la variance. Ce serait compliqué, mais possible rapidement.

Pour 36 dés, on généralise cela, il et te faudrait trouver la loi puis faire les calculs. Très pénible ! Donc essayons autre chose :

Revenons à 2 dés. Tu as écrit le calcul de l'espérance, sans le finir. Grave erreur : tu as raté une idée essentielle, l'espérance est 7. Pourquoi ?
D'abord une idée simple, mais qu'on ne suivra pas : 7 est la valeur "centrale", les valeurs et leurs probabilités sont symétriques par rapport à 7.
Puis quelque chose de plus utile : La moyenne des valeurs possibles d'un dé : (1+2+3+4+5+6)/6 c'est 3,5. C'est donc l'espérance du jet d'un dé. L'espérance du jet de 2 dés est donc 3,5 pour le premier plus 3,5 pour le deuxième, soit 7 au total.
Je te laisse généraliser pour les 36 dés.
En fait c'est l'application d'une règle de ton cours : l'espérance d'une somme est la somme des espérances : E(X+Y)=E(X)+E(Y)
Une fois que tu auras l'espérance des Xi, tu pourras continuer.
Avec la règle E(aX)=aE(X), tu devrais arriver à répondre à la première question : "Quelle est l’espérance de X ̅ ? ". Rappel : diviser par n c'est multiplier par 1/n.
Et retrouver une valeur déjà vue (si on y réfléchit un peu, c'est normal).

Et pour la variance. Là on n'a pas la règle "la variance d'une somme est la somme des variances". Sauf dans un cas : si les variables aléatoires sont indépendantes. Or ici, que ce soit pour les 36 dés, ou pour les lancers de 36 dés, il y a une indépendance naturelle (on ne voit pas en quoi les jets précédents changeraient les probabilités de sortie des dés). Donc tu vas pouvoir appliquer la règle V(X+Y)=V(X)+V(Y) (et aussi à la fin V(aX)=a²V(x).

Bon travail !

NB : les raisonnements que je fais ici sont peut-être déjà dans ton cours. mais je préfère reprendre, car tes questions jusqu'à présent ne montrent pas une grande maîtrise du sujet.

gg

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Dim 26 Jan 2014 - 22:15

re bonsoir

merci beaucoup pour cette aide précieuse, j'essaie de faire tous les calculs demain. Et entre nous, je n'ai pas eu ces notion dans mon cours, ni les formules E(aX)=aE(X) , ni V(aX)=a²V(x)
donc merci bcp pour ces nouvelles règles sur les proba et surtout sur les loi discrètes

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par droopy le Lun 27 Jan 2014 - 15:33

Bonjour,

tu peux partir sur la loi multinomiale, avec X{1,2,3,4,5,6} que tu tires 36 fois avec des probabilités{1/6,1/6,...,1/6}.
Dans ce cas l'espérance du nombre de fois ou chaque élément est tiré est ni*pi = 6.
En moyenne tu tires 6 fois chaque numéros, donc l'espérance de la somme de ces numéros est E(X1+X2...+Xn) = somme des espérances : 6*1+6*2+6*3+6*4+6*5+6*6 = 126.

Cdlt

droopy

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Mar 28 Jan 2014 - 20:26

re bonsoir ,
petite question pour poursuivre notre analyse

est ce possible d'affirmer que toutes les expériences sur le lancement de dés (par exemple X = somme des dés, ou X= nombre de 3 , ou encore X = au moins un 6) appartiennent aux variables dont les résultats sont des variables discrètes...? et du coup ne peuvent pas être des lois normales...

a quelle loi appartiennent toutes ces variables du coup ?

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Mar 28 Jan 2014 - 20:43

du coup pour le calcul de la variance, est correcte de dire :
que la variance V(X) = somme pi(xi-(E(X)2)

du coup, dans notre exemple :
si on prend l'exemple du lancement d'un dé , à 6 faces , on a toujours la probabilité
on a vu ensemble au dessus que l’espérence etait de 3,5

du coup , on peut déterminer la variance
v(X) = 1-E(X)2 + 2-(E(X)2 + 3-E(X)2 + 4-E(X)2 + 5-E(X)2 + 6-E(X)2 x 1/6
= 35/12

et ensuite, comme on a la variance pour un dé, on généralise à 36 dés, car V(X+Y) = V(X)+V(Y ) d’ou variance pour 36 dés = 35/12 x 36
et ensuite V(aX) = a2 V(X) d’ou ici on aurait 100x100x((35/12)x36)

est ce correct ?

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par gg le Mar 28 Jan 2014 - 21:28

Ok pour les calculs, mais il ne faut pas oublier le 1/n.

Et effectivement, on ne voit pas comment des résultats venus d'une expérience discrète pourraient donner une variable continue. par contre, certaines variables discrètes s'approximent facilement par des lois continues, en particulier les sommes ou moyennes d'échantillons. Voir un cours.

Cordialement.

gg

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Mer 29 Jan 2014 - 13:01

re bonjour
merci pour cet aide
mais je ne comprends pas ou ai je oublié le 1/n ?

dans mon calcul ci dessus j'ai mis
V(aX) = a2 V(X) d’ou ici on aurait 100x100x((35/12)x36)
avec a = n = 100

vous me mettez le doute, je n'ai peut etre pas compris
je pensais que le n représenté le nombre de fois ou on effectuer le lancement des dés, ici des 36 dés ...

est ce correct ?

je trouve espérence X = 126/100
et variance X = 1050000



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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par gg le Mer 29 Jan 2014 - 16:26

La division par n est dans l'énoncé "X ̅ = Somme de Xi/n".

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Mer 29 Jan 2014 - 17:01

je ne comprends pas

faut il faire le calcul E(X) calculé pour 36 dés (ie 126) multiplié par n (100) puis redivisé à nouveau par n (comme dans l'énoncé ? )

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par gg le Mer 29 Jan 2014 - 20:14

Tu as traité X, mais il faut maintenant répondre aux questions de l'énoncé ...

gg

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Mer 29 Jan 2014 - 20:31

donc il faut multiplier par n, puis diviser par n ..
donc espérance de X demandé = 126
et variance de X demandé =35/12 x 36 x100
est ce correct?

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par gg le Mer 29 Jan 2014 - 21:12

Non.

X n'est pas 100 fois le résultat d'un jet de 36 dés, mais la somme de 100 résultats (*). Tu as appliqué indument la formule V(aX); et incorrectement ensuite pour passer à la division (là tu aurais dû l'appliquer !).

Pendant combien de temps vas-tu copier 35/12 x 36 avant de le simplifier (simplification évidente) ?

Cordialement.

(*) si tu jettes un dé et que tu fais 6 (ça arrive souvent), 100 fois 6 fait 600. Si tu jettes 100 dés et que tu fais le total (somme des résultats), tu feras entre 300 et 400, mais il est extrêmement improbable que tu fasse 600.

gg

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

Message par nnathalie44 le Mer 29 Jan 2014 - 21:23

Franchement je ne comprends rien du tout
Est ce possible de reprendre au début ?

J'ai revu en détails mon cours et je n'ai pas les formules que vous m'avez donnée pour l'espérance des sommes et idem pour le calcul de variance

Je comprend mieu avec ces fomules
Mais a peine je pense pouvoir résoudre cette simple question , que je me rend compte que j'ai tout compris de travers ... Aie aie aie !!!

Revenons sur l'espérance
Pour les 36 des .. On a vient 3,5 x36 = 126
Pour l'exemple du départ on a donc espérance = 126/100
(Ce qui entre nous ne donne pas un résultat rond ...)

Jusque-là déjà ai je bien compris ou pas du tout?

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Re: espérance et variance pr 100 lancés simultanés de 36 dés

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