Calcul de l'espérance de la loi de Fréchet

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Calcul de l'espérance de la loi de Fréchet

Message par joyeux_lapin13 le Ven 6 Déc 2013 - 6:51

Bonjour,

J'ai un souci dans la démonstration de l'espérance de la loi de Fréchet.

En effet,

E[X] = intégrale(de 0 à +infini) {  x (alpha/s) ((x - m)/s) ^(-alpha - 1) exp(-((x - m)/s) ^(-alpha)) }

En procédant au changement de variable suivant:

u = ((x - m)/s) ^(-alpha) on obtient x = s . u ^(-1/alpha) + m et dx = -(s/alpha) . u ^(-1 - (1/alpha)) du

C'est à partir de là que ça coince, en effet le - dans la formule de dx fait que j'obtiens la formule de l'espérance mais multiplié par -1 (en effet si on applique ce changement de variable à E[X] et en utilisant la fonction Gamma:

Gamma(p) = intégrale(de 0 à +infini) {   exp(-u) . u ^(p - 1)   }

je tombe sur E[X] = - Gamma(1 - (1/alpha)) - m au lieu de Gamma(1 - (1/alpha)) + m)

Je suis sur que c'est une erreur grotesque de ma part dans les calculs mais pas moyen de voir où...

Je peux détailler un peu plus mais en l'absence de module pour écrire les formules de math je pense pas que ça soit utile à qui que ce soit...


En vous remerciant d'avance!

joyeux_lapin13

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Re: Calcul de l'espérance de la loi de Fréchet

Message par gg le Ven 6 Déc 2013 - 8:58

Les bornes ne seraient-elles pas inversées ?

Cordialement.

gg

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Re: Calcul de l'espérance de la loi de Fréchet

Message par joyeux_lapin13 le Ven 6 Déc 2013 - 9:28

Ben normalement non, la densité est définie pour tout x supérieur à m (le paramètre de position) et l'astuce, j'ai pas trouvé de meilleur explication pour justifier du calcul de l'intégrale sur 0 à +infini et non sur m à +infini, serait de rester volontairement sur 0 à +infini pour profiter de la fonction Gamma complète.

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Re: Calcul de l'espérance de la loi de Fréchet

Message par gg le Ven 6 Déc 2013 - 18:11

Tu ne parles toujours pas des bornes dans le changement de variable : Si ta fonction est décroissante, les bornes ne sont plus dans le sens habituel. Or si alpha>0, u est fonction décroissante de x.

Cordialement.

gg

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Re: Calcul de l'espérance de la loi de Fréchet

Message par joyeux_lapin13 le Sam 7 Déc 2013 - 3:18

Bon sang!


MERCI gg Very Happy 

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