Retrouver l'écart type d'une loi Normale

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Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par aurelie26 le Dim 17 Nov 2013 - 18:15

Bonjour !

Je cherche à retrouver l'écart type d'une loi Normale dont je connais la moyenne (u=0.5).
Je sais que si je rassemble toutes les valeurs comprise dans les 60% supérieurs de cette distribution, j'obtiens une moyenne de 0.55.

Je pense qu'il est possible de retrouver l'écart type de la distribution normale du fait que je connaisse cette moyenne de 0.55. Je me trompe ? Si c'est possible je n'ai aucune idée de la méthode...

Merci de votre aide !
Aurélie.

aurelie26

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Re: Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par gg le Dim 17 Nov 2013 - 19:19

Bonsoir.

Je ne comprends pas trop ton "si je rassemble toutes les valeurs comprise dans les 60% supérieurs de cette distribution, j'obtiens une moyenne de 0.55". Je ne comprends pas comment on peut avoir ce type de renseignement. Mais si tu peux me donner une traduction en termes de probabilités (variable aléatoire, loi, densité, etc), je pense qu'il y a sans doute une possibilité (en général, pour une loi Normale, la moyenne et un autre renseignement déterminent la loi).

Cordialement.

gg

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Re: Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par aurelie26 le Dim 17 Nov 2013 - 19:39

Bonsoir,

Je vais donner un exemple qui suit la même logique en espérant que ce soit plus clair. Par exemple pour une loi normale de moyenne 0 et d'écart type de 1, la moyenne des valeurs comprises dans les 50% supérieurs de cette distribution vaut 0.5. Soit la moyenne des valeurs supérieurs à 0 = 0.5.

Désolé si je n'utilise pas les termes mathématiques appropriés...
Donc dans mon cas je cherche un moyen de retrouver l'écart type, par exemple ici 1, sachant que la moyenne de ma distribution normale est 1 et que si je rassemble toutes les valeurs au dessus de 0 (ce que j'appelle les 50% supérieur) j'obtiens une moyenne de 0.5.

Je me dis que si l'écart type n'était pas de 1 la moyenne au dessus de 0 serait différente de 0.5. Donc ces valeurs doivent être liées d'une manière ou d'une autre...

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Re: Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par gg le Dim 17 Nov 2013 - 20:35

la moyenne des valeurs comprises dans les 50% supérieurs de cette distribution
Je ne comprends pas ce que tu veux dire, ni pourquoi tu dis que ça vaut 0,5. Si on fait un tirage d'un échantillon suivant la loi Normale centrée réduite, et qu'on ne garde que les valeurs positives, la moyenne des valeurs sera en moyenne de 0,8 environ.
Ne ferais-tu pas une interprétation fausse de l'écart type ?

gg

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Re: Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par aurelie26 le Dim 17 Nov 2013 - 21:11

Excusez moi j'ai effectivement commise une erreur en calculant la somme des valeurs pour une loi normale centrée réduite. Passé cette erreur, ce je que je cherche à faire n'a donc pas de sens ? Je cherche surtout à savoir si cela est possible. Intuitivement comme je l'expliquais précédemment j'avais l'impression que oui...

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Re: Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par gg le Dim 17 Nov 2013 - 21:18

Tu n'as pas vraiment répondu à mon interrogation initiale. Je ne sais toujours pas comment tu détermines les 60% ...
Sinon, le calcul à priori est possible, il n'utilise que les propriétés de la loi Normale. mais il me faudrait une forte motivation pour m'y lancer Very Happy 

gg

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Re: Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par gg le Dim 17 Nov 2013 - 21:25

Je viens de regarder rapidement, on va tomber sur une équation où l'écart type apparaît directement, et aussi dans des exponentielles, donc ne rêvons pas : pas de résolution possible.

Bien sûr, il y a des méthodes moins directes, mais très lourdes.

gg

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Re: Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par aurelie26 le Dim 17 Nov 2013 - 21:54

Merci beaucoup pour vos réponses ! Votre réponse finale est elle que cela est incalculable ou juste difficile ?

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Re: Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par droopy le Lun 18 Nov 2013 - 9:05

Bonjour,
C'est possible mais ça doit être pénible. Il faut se rapporter à une loi normale tronquée dont les moments sont connus :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_tronqu%C3%A9eAprès tu as tout un tas de m"thode d'approximation numérique qui te donnerait la solution. Tout dépend si tu as besoin de la valeur ou de pouvoir calculer la valeur.

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Re: Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par gg le Lun 18 Nov 2013 - 10:26

Effectivement, c'est possible approximativement.

Ce qui est impossible, c'est la résolution exacte de l'équation.

Une méthode accessible à petit niveau : sur un tableur, pour diverses valeurs de l'écart type (disons de 0,01 à 1 par pas de 0,01) d'une variable gaussienne de moyenne 0,5, on fait calculer (formule à établir) la valeur t telle que P(X>t)=60%, puis la "moyenne des valeurs supérieures à t". On prendra comme écart type celui qui donne le résultat le plus proche de 0,55.

Cordialement.

gg

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Re: Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par aurelie26 le Lun 18 Nov 2013 - 19:50

Merci beaucoup Smile , je vais essayé de faire ce que vous me proposez.

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Re: Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par droopy le Mar 19 Nov 2013 - 7:56

re,

Avec R ça peut donner ça :
Code:
f2 <- function(x, mu1, mu2){
  a <- qnorm(0.4, mu1,x)
  alpha <- (a-mu1)/x
  lamda <- dnorm(alpha)/(1-pnorm(alpha))
  abs(mu2-(mu1+x*lamda))
  }

s1 <- optimize(f2, c(0.00001,4), mu1=0.5, mu2=0.55)$mini
s1
[1] 0.07764492

# vérification
x <- rnorm(1e6, 0.5, s1)
mean(x[x>qnorm(0.4, 0.5, s1)])
[1] 0.549949
Soit un ecart type de 0.07764492 environ.

Cdlt
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Re: Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par aurelie26 le Mar 19 Nov 2013 - 13:16

Merci pour ce script ! J'ai mis quelque temps à comprendre comment ça marche mais c'est exactement ce que je voulais faire. Cependant je me demande encore pourquoi mu1+x*lamda dans la dernière ligne de la fonction ?? Comment avez trouvé que cette expression vaut mu2 pour la valeur que l'on souhaite trouver ?

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Re: Retrouver l'écart type d'une loi Normale

Message par droopy le Mer 20 Nov 2013 - 9:12

Ca vient de la :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_tronqu%C3%A9e a écrit:Pour une simple troncature, ces moments deviennent

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