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Loi binomiale sous-dispersée et sur-dispersée

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Loi binomiale sous-dispersée et sur-dispersée

Message par chenevert le Ven 28 Sep 2012 - 12:55

Bonjour,

Je cherche l'expression analytique d'une loi de probabilité discrète qui serait un équivalent sous-dispersé et sur-dispersé de la loi binomiale.

Dans l'idéal il faudrait que cette loi ait une expression analytique simple (si possible), un seul paramètre de plus que la loi binomiale. Ce paramètre modéliserait la sous/sur-dispersion. Il faudrait retomber sur la loi binomiale pour une certaine valeur de ce paramètre, et la moyenne de la loi devrait rester constante lorsque ce paramètre est modifié.

Pour l'instant je n'ai trouvé que ces lois :
- la loi béta-binomiale : son inconvénient est qu'elle ne permet pas de modéliser la sous-dispersion. Sinon elle satisfait les autres contraintes.
- deux versions d'une loi "quasi-binomiale" : elles ont le même inconvénient que la loi béta-binomiale (pas de sous-dispersion), mais en plus elles ne semblent pas permettre de contrôler facilement la moyenne lorsque l'on modifie le paramètre modélisant la sur-dispersion.

Est-ce que quelqu'un aurait d'autres idées ? surtout pour modéliser la sous-dispersion.

Merci.

chenevert

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Loi binomiale sous-dispersée et sur-dispersée

Message par chenevert le Mer 17 Oct 2012 - 11:50

Personne n'a d'idée ?

Bonne journée.

chenevert

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Re: Loi binomiale sous-dispersée et sur-dispersée

Message par Nik le Mer 17 Oct 2012 - 13:05

Je ne suis pas forcément compétent pour ce genre de chose mais je ne vois pas pourquoi lorsque phi<1 tu ne peux pas parler de sous-dispersion ?

Nik

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Re: Loi binomiale sous-dispersée et sur-dispersée

Message par chenevert le Mer 17 Oct 2012 - 14:49

Oui effectivement c'est exact, on peut modéliser de la sous-dispersion avec phi<0 dans une loi quasi-binomiale. Je me suis trompé.
Mais ce que je souhaite, c'est avoir plusieurs lois de même moyenne, mais de variance différente (supérieure et inférieure à celle de la loi binomiale). Les lois quasi-binomiales ne me conviennent pas parce que je ne vois pas comment contrôler la moyenne : Quand on fait varier phi, la moyenne n'est pas conservée.

chenevert

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Re: Loi binomiale sous-dispersée et sur-dispersée

Message par Nik le Mer 17 Oct 2012 - 15:29

Quand on fait varier phi, la moyenne n'est pas conservée.
je ne vois pas ce que tu veux dire. Le paramètre de dispersion contrôle le lien entre moyenne et variance des observations. Donc c'est pas la moyenne qui n'est pas conservée mais la variance non ? Neutral

Nik

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Re: Loi binomiale sous-dispersée et sur-dispersée

Message par chenevert le Mer 17 Oct 2012 - 16:25

Prenons la formulation de la loi quasi-binomiale de http://dutangc.free.fr/pub/prob/memento.pdf à la page 3. Je suis incapable de calculer l'expression analytique de l'espérance (d'ailleurs, l'expression n'est pas présente dans le pdf du lien). Mais intutivement, elle doit dépendre de phi non ? C'est aussi ce que me suggère des simulations.
Mais peut-être connais-tu une autre loi quasi-binomiale avec un paramètre phi qui n'a pas d'influence sur l'espérance. Dans ce cas, je suis intéressé par avoir sa formulation analytique. En fait c'est ce que je cherche.

chenevert

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Re: Loi binomiale sous-dispersée et sur-dispersée

Message par Nik le Mer 17 Oct 2012 - 20:12

pas assez calé pour te répondre avec certitude mais je crois que tu te trompes de piste. D'autant plus qu'avec la beta-binomiale tu as ce qu'il te faut. Si tu veux vraiment pousser les choses un peu plus loin il y a les modèles Beta avec une Beta reparamétrisée pour pouvoir fournir un paramètre de position et un paramètre de dispersion sans avoir les à priori de la beta-binomiale sur la distribution des erreurs.

Nik

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Re: Loi binomiale sous-dispersée et sur-dispersée

Message par chenevert le Mer 24 Oct 2012 - 16:25

Merci pour la discussion.
Le loi beta seule est en effet un bon candidat pour ce qui est de contrôler la position (la moyenne) et la dispersion. Mais c'est une loi continue. Je cherchais quelquechose de proche de la loi binomiale (discret).
Le beta-binomiale est une composée de la loi binomiale et de la loi beta. Donc sa dispersion est au minimum celle de la loi binomiale, impossible d'avoir une variance plus petite. En fait, la beta-binomiale est une sorte de loi binomiale pour laquelle le paramètre p de la binomiale suit une loi beta. La beta-binomiale tend donc vers la binomiale lorsque l'on paramétrise la loi beta pour que sa variance tende vers zéro (i.e. grandes valeurs pour les paramètres alpha et beta).

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Re: Loi binomiale sous-dispersée et sur-dispersée

Message par Nik le Jeu 25 Oct 2012 - 8:39

Une loi continue n'est finalement qu'une loi discrète où les unités sont infinitésimale.
Je suis bien d'accord su ce que tu donnes en rappel de la beta-binomiale mais je ne vois pas l'intérêt pour ta question. Dans la beta-binomiale, la baeta ne sert qu'à donner une distribution d'erreur au p de la binomiale. Donc tout dépend quelle est la question de base. Si tu as dois rester dans le cadre binomial alors la beta-binomiale est bien mais par contre c'est 2 paramètres en plus à estimer...

Nik

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Re: Loi binomiale sous-dispersée et sur-dispersée

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