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Statistique d'une fréquence et moyenne

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Statistique d'une fréquence et moyenne

Message par jcdm le Dim 4 Déc 2011 - 20:20

Bonjour,

Je suis un étudiant et j'ai un problème sur un point théorique. Je m'explique, considérez une variable de Bernoulli X qui prend la valeur 1 si une expérience fonctionne et 0 si une expérience échoue.
On réalise cette expérience N fois. Alors (la somme de i=1 à N des Xi)/N = g suit une loi binomiale que l'on peut approcher par une loi normale lorsque Np>5 (supposons que c'est le cas) de moyenne p et de variance p(1-p)/N.

Jusque là ça va. Very Happy

Maintenant je réalise N expérience n fois... (exemple je lance 100 fois une boule de papier dans une corbeille et je le répète 10 fois ces 100 lancers)
La variable aléatoire F=1/n somme (i=1 à n des gi) qui représente la moyenne des gi suit-elle la même loi ? Est ce que la moyenne est bien p et la variance p(1-p)/N ?

Je vous remercie de votre aide

jcdm

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Re: Statistique d'une fréquence et moyenne

Message par gg le Dim 4 Déc 2011 - 21:21

Bonsoir.

D'abord, une rectification :
"Alors (la somme de i=1 à N des Xi)/N = g suit une loi binomiale " Non ! cette variable aléatoire g peut prendre les valeurs 0, 1/N,2/N,...(N-1)/N et 1. Une loi binomiale ne prend que des valeurs entières.
Ce qui est juste :
Alors (somme de i=1 à N des Xi) = G suit une loi binomiale que l'on peut approcher par une loi normale lorsque Np>5 (supposons que c'est le cas) de moyenne Np et de variance Np(1-p). Donc la variable aléatoire g=G/N = (somme de i=1 à N des Xi)/N suit une loi que l'on peut approcher par une loi normale de moyenne p et de variance p(1-p)/N.

"La variable aléatoire F=1/n somme (i=1 à n des gi) qui représente la moyenne des gi suit-elle la même loi ?"
Non, et oui. Non car c'est une autre situation. Oui car F est le total de toutes les réussites, divisée par le nombre d'essais Nn. Tout se passe comme si on avait remplacé N par nN.
Donc la moyenne est bien p, par contre la variance est p(1-p)/(nN).

Cordialement.

gg

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Re: Statistique d'une fréquence et moyenne

Message par jcdm le Dim 4 Déc 2011 - 21:53

Oui merci pour la rectification.

Je vous remercie pour l'aide apportée.

jcdm

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