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théorème central limite

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Message par CIRDEC le Ven 26 Aoû 2011 - 15:24

Bonjour,
Dans les nouveaux programmes de lycée (en première et terminale scientifique), il est question de loi binomiale, loi normale et on fait allusion au théorème central limite.
Quelqu'un pourrait-il m'énoncer clairement et simplement le théorème central limite avec un vocabulaire et des outils de lycée et éventuellement me donner un exemple.
Merci beaucoup,
Cordialement,
Cédric

CIRDEC

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Message par gg le Ven 26 Aoû 2011 - 16:17

Bonjour.

Ta demande est impossible à satisfaire, car l'énoncé correct du théorème central limite nécessite des outils probabilistes qu'on ne voit pas au lycée. En voici une version fausse car dite avec des mots plus simples :
On considère n réalisations indépendantes d'une variable aléatoire X et on appelle Y la somme de ces réalisations. Y est, avant le début des l'expérimentation une variable aléatoire dont la loi, pour n grand, s'approche d'une loi Normale.
Par exemple, si on jette 10 000 fois un dé, le nombre de 6 suit approximativement une loi Normale de moyenne 10000/6 et de variance 50000/36. Ici X est 1 si le 6 est sorti et 0 sinon.

Quelques remarques :
* L'approximation est assez bonne au voisinage de la moyenne, et d'autant plus mauvaise qu'on s'éloigne de la moyenne.
* L'approximation est très bonne si X est déjà proche d'une loi Normale (représentation graphique à une bosse), même pour n assez petit.
* Il y a des conditions sur X (existence de sa variance) qu'on peut affaiblir.
* Il y a des versions plus floues (mais plus utiles) : la somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes et de même ordre de grandeur suit approximativement une loi Normale. C'est ce qui explique l'apparition de la loi Normale pour modéliser de nombreux phénomènes : imprécision dans les mesures en physique, dispersion des cotes en métrologie industrielle, consommation du stock, taille des enfants de 10 ans, ...

Cordialement.

gg

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Message par CIRDEC le Sam 27 Aoû 2011 - 15:50

Bonjour,
si j'ai bien compris, si Y est la variable aléatoire comptant le nombre de 6 parmi les 10 000 lancers de dé,
Y suit exactement une loi BINOMIALE de paramètre n=10 000 et p=1/6 (q=5/6)
et cette loi BINOMIALE peut être approximée (pour np et nq suffisamment grands) par la loi NORMALE de paramètre 10 000/6 et rac(50 000/36).
Est-ce exact ?
Pourriez-vous tout de même me donner un énoncé précis aussi bien formulé que ce que vous avez fait mais niveau post-bac du théorème central limite. Les livres présentent des versions différentes ...
Merci beaucoup.
Cédric

CIRDEC

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Message par gg le Sam 27 Aoû 2011 - 16:51

Bonjour.

Pour l'exemple, c'est bien ça. Avec trois remarques :
* Si la loi de X avait été différente, mais avec la même moyenne et le même écart type, le résultat aurait été le même (mais Y n'aurait pas suivi une loi Binomiale).
* On approxime une loi discrète par une loi continue. Donc il faut employer cette idée pour des intervalles de valeurs suffisamment grands, ou employer ce qu'on appelle la "correction de continuité".
* La précision de l'approximation n'est correcte qu'aux alentours de la moyenne (disons à pas plus de 3 ou 4 écarts types). C'est très évident car la loi Normale donne des probabilités non nulles (même si elles sont ultra faibles) pour Y<0.

Pour un énoncé précis, je ne le ferai pas ici, car recopier un énoncé mathématique n'est pas intéressant sur ce forum. Les différentes versions sont dues soit à des contenus différents (il y a plusieurs façons de voir la même idée) soit le plus souvent à des notations différentes.

Pour ta culture personnelle (surtout si tu dois l'enseigner), tu as le choix entre des présentations vulgarisatrice (Boursin : "Comprendre les probabilités" ou "les structures du hasard", Schwartz : "Le jeu de la science et du hasard) ou étudier complétement un cours de probabilités. Si tu n'as pas besoin des preuves, elui-ci, dû à Jolion convient bien.

Bonne réflexion.

gg

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