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Estimation et Intervalle de confiance

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Message par calissai le Dim 14 Oct 2007 - 14:33

Bonjour à tous, je suis entrain de réviser mes Biostatistiques et le prof nous a donné des exercices types pour nous entraîner, mais j'avoue que je suis un peu paumé, n'étant pas issu d'une filière mathématiques.
Es-ce que quelqu'un pourrait m'aider svp ?
Merci Wink


Une enquête ayant pour objectif principal d’estimer la prévalence du surpoids dans la population adulte française, a été réalisée auprès d’un échantillon représentatif constitué de 450 personnes prises au hasard.
L’indice de masse corporelle (IMC) moyen mesuré sur cet échantillon était de 24,5 et son écart-type de 4,2. Parmi les personnes interrogées, 38 % étaient en situation de surpoids (IMC supérieur ou égal à 25).
L’enquête s’intéressait également aux facteurs associés à l’IMC. Quinze chauffeurs routiers appartenaient à l’échantillon et parmi eux, l’IMC moyen mesuré était de 28 et l’écart-type de 5.




  1. 1. Donnez une estimation et un intervalle de confiance de l’IMC moyen dans la population adulte française au seuil de 5 %. Quelle interprétation faites-vous de cet intervalle ?



  2. 2. Donnez une estimation et un intervalle de confiance de la prévalence du surpoids dans la population adulte française au seuil de 5 %.



  3. 3. Donnez une estimation et un intervalle de confiance de l’IMC moyen des chauffeurs routiers français au seuil de 5 %. Quelles hypothèses sous-jacentes sont-elles nécessaires ?

calissai

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Message par Madoka le Lun 15 Oct 2007 - 7:22

Bonjour,

Pour résoudre ton exercice, tu supposes donc que ton échantillon est tiré selon un plan sans remise avec une taille d'échantillon suffisamment grande, et tu supposes que les lois de tes estimateurs suivent une loi normale.
Alors, dans ce cas, si thetachapeau est l'estimateur de theta (theta pouvant être une moyenne, une proportion..), alors l'intervalle de confiance au seuil de 5% de theta est :

[thetachapeau-1.96*ecart-type ; thetachapeau+1.96*ecart-type]

Pour le cas particulier d'une proportion, tu as l'intervalle de confiance au seuil 5% de la proportion P cherchée qui est :

[p-1.96*((p(1-p))/n)^(1/2) ; p+1.96*((p(1-p))/n)^(1/2)]

où p = 38% ici, et n est la taille de ton échantillon (ici n = 450).
Je te laisse le soin d'appliquer tout ça à ton exercice. study

Il faut noter qu'évidemment un échantillon de 450 personnes sur une population française de plus de 60 millions, ca fait peu (mais l'échantillon est jugé suffisamment "grand")...De même, avec quinze chauffeurs routiers seulement, dur de faire une généralité (et là je ne pense pas que l'on puisse dire que l'échantillon soit suffisamment grand pour construire un intervalle de confiance théoriquement correct...)...

Bon courage ! Wink
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Message par calissai le Lun 15 Oct 2007 - 18:48

Merci pour ta réponse.
J'ai calculé l'intervalle de confiance de la question 1) et je trouve : [94.668; 111.132] et je trouve ca bizarre.
Dans la question 1) on me demande aussi une estimation de l'IMc moyen des français mais la réponse est déjà donné dans l'énoncé non ? C'est 24.5 ?
J'avoue que je suis perdue...

calissai

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Message par calissai le Lun 15 Oct 2007 - 20:08

J'ai réussi tant bien que mal à faire mon exos et j'ai trouvé :
1) Estimation de la moyenne : 24.1 < moyenne < 24.9
Intervalle de confiance : [-0.4 ; +0.4 ]
2) Estimation de la prévalence : 0.379 < prévalence < 0.381
Intervalle de confiance : [-0.001 ; +0.001 ]
3) Estimation de la moyenne : 25.23 < moyenne < 30.77
Intervalle de confiance : [-2.77 ; +2.77 ]

Es-ce que j'ai juste ou bien c'est tout faux ??? SadSadSadSad

calissai

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Message par Madoka le Mar 16 Oct 2007 - 11:34

Bonjour calissai,

Euh, je crois que tu n'as compris ce que j'ai dit dans mon post. Rolling Eyes
Bon, on reprend déjà sur des définitions de base :
- Une estimation est une valeur ponctuelle, unique. Or, toi tu dis que l'estimation de ta moyenne pour la question 1 est 24,1 < moyenne < 24,9. Ce que tu donnes est un intervalle là. Effectivement, comme tu disais dans un post précédent, l'estimation demandée à la question 1 est donnée dans l'énoncé.
- Un intervalle de confiance encadre l'estimation que tu donnes. Donc il contient forcément l'estimation que tu donnes ! Donc les intervalles de confiance que tu donnes ne sont pas justes.

Par exemple, pour la question 1, l'estimation de l'IMC moyen est 24,5.
Et l'intervalle de confiance au seuil de 5% est :
[24,5-1,96*4,2 ; 24,5+1,96*4,2] = [16,27 ; 32,73]
(si je ne me trompe pas Razz ).

Bon courage à toi ! Tiens-moi au courant stp des résultats de l'exercice !
study
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Message par Gaussienne le Mar 16 Oct 2007 - 15:21

Madoka a écrit:Pour résoudre ton exercice, tu supposes donc que ton échantillon est tiré selon un plan sans remise avec une taille d'échantillon suffisamment grande, et tu supposes que les lois de tes estimateurs suivent une loi normale.
Alors, dans ce cas, si thetachapeau est l'estimateur de theta (theta pouvant être une moyenne, une proportion..), alors l'intervalle de confiance au seuil de 5% de theta est :

[thetachapeau-1.96*ecart-type ; thetachapeau+1.96*ecart-type]


Je crois qu'il manque un racine de n ici.
[thetachapeau-1.96*ecart-type/racine(n) ; thetachapeau+1.96*ecart-type/racine(n)]

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Message par Madoka le Mar 16 Oct 2007 - 16:19

C'est une bonne remarque Gaussienne...
J'ai donné la définition générale d'un intervalle de confiance dont je maintiens la définition d'après mes lectures de livres de sondage.
Mais lorsque l'on applique cette définition au cas du sondage aléatoire simple, cela peut se simplifier c'est vrai...De plus, je crois qu'il faut faire attention s'il s'agit de l'écart-type ou de l'écart-type corrigé.

Dans le cas d'un sondage aléatoire, la variance estimée d'une moyenne est :
Var(ybarre) = (1-f)*s²/n

où f = n/N, avec N taille de la population d'étude (population française), donc ici f est négligeable.
Et s² = (1/(n-1))sommeide1àn(yi-ybarre)² (que l'on appelle souvent variance estimée corrigée car on a 1/(n-1)).

Donc notre intervalle de confiance estimé au seuil de 5% est :
[thetachapeau-1,96*ecart-type/racine(n) ; thetachapeau+1,96*ecart-type/racine(n)]

à condition que 1) n soit suffisamment grand,
2) f est négligeable.


Pour résumer, je dirai que tu as raison Gaussienne avec le racine de n si l'écart-type vaut bien le s que j'ai défini.

Désolée pour mon erreur Crying or Very sad
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Message par Kolmogorov le Mar 16 Oct 2007 - 16:42

Madoka a écrit:Désolée pour mon erreur Crying or Very sad

Pour la peine, tu me copiras 100 fois la table de la loi normale centrée réduite.
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Message par calissai le Mar 16 Oct 2007 - 17:24

Donc es ce que mes résultats sont juste ??? ^^
Sachant que j'ai tenu compte de la racine carrée !

calissai

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Message par pjleroux le Mar 16 Oct 2007 - 19:03

calissai a écrit:Donc es ce que mes résultats sont juste ??? ^^
Sachant que j'ai tenu compte de la racine carrée !

Avant tout, un petit rappel :

Il ne faut pas confondre "intervalle de confiance" et "intervalle de prédiction".

Prenons un cas simple :
Imaginons que l'on prenne un échantillon de 100 personnes et qu'on les pèse.
On trouve un poids moyen de 75 kg et un écart type de 10 kg.

L'intervalle de confiance à 95% sera :
[75 - 1,96 x 10 / racine(100) ; 75 + 1,96 x 10 / racine(100)]
c'est à dire, après calcul : [73,04 ; 76,96]
Cet intervalle signifie : "je suis sûr à 95% que la moyenne réelle de la population est située entre 73,04 et 76,96.

L'intervalle de prédiction à 95% sera :
[75 - 1,96 x 10 ; 75 + 1,96 x 10] (on a viré la racine de n là...)
c'est à dire : [55,4 ; 94,6]
Cet intervalle signifie : "95% de ma population a un poids situé entre 55,4 et 94,6."
Ici, on ne raisonne plus en moyenne.

Ceci étant dit, dans l'exercice en question, il s'agit bien de l'intervalle de confiance de la moyenne (ICM), donc il faut bien diviser l'écart type par racine de n dans la formule.
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Message par Madoka le Mar 16 Oct 2007 - 19:48

Bonsoir tout le monde,

Pour la peine, tu me copiras 100 fois la table de la loi normale centrée réduite.

lol. Ca me ferait sûrement pas de mal en plus ! Laughing

Orkadess, merci pour ces précisions ! Very Happy Je comprends mieux maintenant moi ! bounce

Calissai, je pense que tes résultats sont bons, mais pas présentés comme il faut, comme je l'ai dit dans mon post précédent.

Bonne continuation ! Wink
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Message par calissai le Mar 16 Oct 2007 - 21:40

Merci beaucoup à tous, vous m'avez vraiment bien aider Smile

calissai

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Message par Jonathan le Jeu 18 Oct 2007 - 2:59

Juste une petite remarque pour utilisation futur dans ton cour:

On a utilisé 1,96 = Z0,05/2 parce ce que l'échantillon était assez grand. S'il avait été plus petit que 30 environs, on aurait dû utiliser t0,05/2.

Pour résumé:

Pour une population normale
Si on ne connaît pas la moyenne et la variance de la population
n < 30, on prend la student t

Si n > 30 on peut dire que talpha= Zalpha (plus le n est grand, plus c'est vrai!)
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