Loi binomiale ? loi normale?

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Message par missbovary le Mer 23 Fév 2011 - 14:40

Bonjour,

je suis présentement un cour de statistique et j'ai beaucoup de difficulté. Voici le probleme:

1) Dans une usine, une machine est utilisée pour verser la farine dans des sacs étiquetés * 500 g *. Le poids X peut varier quelque pleu d'un sac à l'autre. Toutefois, la machine peut etre régler de telle sorte que la variable aléatoire X se distribue selon une loi normale de moyenne U et d'écart-type 2,5 g. Chaque sac est indépendant de l'autre.

Un inspecteur préleve au hasard 20 sacs et pese le contenu. Il suffit que 1 seul des sacs pese moins de 500 g pour qu'il émette un avis de non-conformité.

donc: si la machine est réglée pour que la quantité moyenne U versée soit égale a ce qui est indiqué sur le sac, quelle est la probabilité que l'inspecteur émette un avis de non-conformité?

Dans ce probleme il y a seulement 2 résultats possible. 1) conforme 2) non-conforme.
Est-ce qu'on calculerait la probabilité en disant que 1 sac / 20 sacs = donc 0,05 probabilité qu'il y ait émission d'un avis de non-conformité?

est-ce que les données de mon probleme sont: U = 500 g, écart-type = 2,5 g ???

merci a l'Avance

missbovary

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Message par gg le Mer 23 Fév 2011 - 15:07

Bonjour.

Le fait qu'il y ait un sac non conforme n'interdit pas qu'il y en ait d'autres ! Pour l'instant, tu te contentes de prendre des données au hasard et de calculer avec. Tu ferais mieux de traduire ton énoncé :
"la machine est réglée pour que la quantité moyenne U versée soit égale a ce qui est indiqué sur le sac" donc la moyenne de U est : ...
"la variable aléatoire X se distribue selon une loi normale de moyenne U et d'écart-type 2,5 g." donc X suit la loi ...
"Il suffit que 1 seul des sacs pèse moins de 500 g pour qu'il émette un avis de non-conformité." Donc quand on pèse un sac, il est non conforme si X ... et conforme si X ...
Et la probabilité que les 20 sacs soient conformes est ...


Cordialement.

NB : Toujours bien comprendre, visualiser, concrétiser ces énoncés "concrets".

gg

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Message par missbovary le Mer 23 Fév 2011 - 15:20

merci de répondre si rapidement ... voici donc ce que j'ai trouvé ( pas grand chose en fait Crying or Very sad )

"la machine est réglée pour que la quantité moyenne U versée soit égale a ce qui est indiqué sur le sac" donc la moyenne de U est : ... 500 G"
la variable aléatoire X se distribue selon une loi normale de moyenne U et d'écart-type 2,5 g." donc X suit la loi ...normale"
Il suffit que 1 seul des sacs pèse moins de 500 g pour qu'il émette un avis de non-conformité." Donc quand on pèse un sac, il est non conforme si X ...est plus petit que 500 g et conforme si X ... = 500 g
Et la probabilité que les 20 sacs soient conformes est ... ??


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Message par gg le Mer 23 Fév 2011 - 16:09

Ok !

Il en manque :

"donc X suit la loi ...normale de moyenne 500 et d'écart type 2,5 g.

"il est non conforme si X ...est plus petit que 500 g et conforme si X ... >= 500 g

Détaillons la suite :
La probabilité qu'un sac soit déclaré conforme est .... (valeur évidente)
Les poids des sacs étant indépendants, la probabilité que deux sacs soient déclarés conformes est ... puisqu'il faut que chaque sac le soit. La probabilité que trois sacs soient conformes est ... la probabilité que 20 sacs soient conformes est ...

Cordialement.

NB : On peut évidemment utiliser une loi binomiale, mais ce raisonnement élémentaire suffit. Dans la rédaction on passera directement de 1 à 20 zn arguant de l'indépendance.

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Message par missbovary le Mer 23 Fév 2011 - 18:54

si on suit la loi normale, la probabilité que X soit plus petit que 500 g est
50 % ? car la moyenne U est 500, donc l'air plus petit est 50%

sauf que ce matin en faisant la loi binomiale ce n'Est pas la réponse que j'ai trouvé. ???

P X ( n, p ) = ( 20, 0,5)
donc P que Y >= 1 sac ... donc 1- (P=0) ??

qu'en dis-tu, est-ce que tu suis mon raisonnement?


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Message par gg le Mer 23 Fév 2011 - 20:59

Désolé, je ne comprends rien à ce que tu as écrit.

La probabilité qu'une variable Normale soit inférieure à sa moyenne est bien 0,5, c'est donc la probabilité qu'un sac soit déclaré conforme.

La suite, je ne comprends pas... rédige-la clairement.

On trouve que la probabilité que l'inspecteur donne un avis de conformité est de l'ordre du millionième, donc la probabilité qu'il donne un avis de non conformité est quasiment 1.

Cordialement.

gg

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Message par missbovary le Mer 23 Fév 2011 - 22:17

c'est exactement ca ... si je prend la loi binomiale, et que je vais voir dans la table ..... la probabilité d'avoir un avis de non conformité est de 100 %
Donc j'ai bien calculé Very Happy

MERCI !!!!

ensuite ils veulent qu'on calcule une nouvelle moyenne pour avoir une probabilité de 5 % ( 0,05).
Donc si je fais le calcul: ( X - 500g) / (2.5 / racine carré de 20) = 0,05 ??

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Message par gg le Jeu 24 Fév 2011 - 8:20

Bonjour.

Je crois que je vais arrêter de te répondre. Tu écris des phrases sans répondre à mes questions. Donc tu peux avoir fait tout autre chose que ce que j'imagine. Si je te dis que c'est bon, tu auras appris des méthodes fausses.
De plus, tu continues à écrire des calculs "à priori" sans t'occuper de l'énoncé. Ce n'est pas sérieux !

Donc soit tu raisonnes sérieusement sur la situation, et je peux t'aider, soit tu continues à inventer des réponses, sans moi.

Désolé !

gg

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Message par droopy le Jeu 24 Fév 2011 - 9:04

J'ai déjà vu cet énonce sur ce même forum ...

Selon une loi normale de paramètre mu=500 la probabilité d'avoir un sac qui pèse moins de 500g est effectivement de 0.5. Ce 0.5 te donne la probabilité d'avoir un sac inférieur à 500g. Ce que toi tu cherches c'est 1- la probabilité de n'avoir aucun sac inférieur 500 quand tu en tires 20. En gros tu tires un sac et tu regardes s'il est inférieur ou non à 500 g et tu répètes cette opération 20 fois. Le nombre de sacs inférieurs à 500g va donc suivre une loi binomiale de paramètre n=20 et p=0.5. Il te suffit donc de calculer la probabilité de n'avoir aucun sac inférieur à 500g P(X=0) = C(0,20)*0.5^0+0.5^20 = 0.5^20. Et ensuite de calculer 1-P(X=0) .
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Message par missbovary le Jeu 24 Fév 2011 - 12:56

gg: désolé je ne voulais pas t'insulter ou rien de ca Crying or Very sad Embarassed ... en fait nous sommes arriver a la meme réponse, mais toi en calculant avec la loi normale et moi en calculant avec la loi binomiale.

missbovary

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Message par gg le Jeu 24 Fév 2011 - 15:12

Missbovary,

non, je n'ai pas calculé avec une loi Normale, en tout cas pas plus que toi. J'ai utilisé un raisonnement de probabilités élémentaire. Qui donne la probabilité de X=0 quand X est une variable binomiale.
Mais as-tu attaqué sérieusement la question ("ils veulent qu'on calcule une nouvelle moyenne pour ...")?

Cordialement.

gg

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Message par missbovary le Jeu 24 Fév 2011 - 15:16

ouin ben je suis vraiment pas faite pour les statistiques ... désolé, je ne comprend pas ...

merci beaucoup pour votre aide, ce fut tres apprécié.
bonne fin de journée

missbovary

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Message par gg le Jeu 24 Fév 2011 - 18:12

Alors je vais essayer d'éclaircir :

La loi Normale concerne le poids d'un sac. Connaissant la moyenne, on peut en déduire la probabilité p qu'un sac fasse plus de 500 g
La règle de décision est :
"tous les sacs font plus de 500 g, on accepte; sinon la production est non-conforme".

Donc la probabilité P de non conformité est la probabilité qu'au moins un des sacs fasse moins de 500 g, la probabilité de conformité est la probabilité contraire (1-P), et c'est la probabilité que tous les sacs fassent plus de 500 g.

Dans ta première question p=0,5 et un raisonnement élémentaire (niveau débutant en probabilités) donne 1- P=0,5^20 qui fait à peu près un millionième, donc P vaut quasiment 1. On peut aussi raisonner sur le nombre N de sacs qui font moins de 500 g. N suit (indépendance) une loi binomiale de paramètres 20 et 0,5 et on cherche P=P(N>0)=1-P(N=0)=1-0,5^20. On retrouve évidemment le même résultat.

Pour la suite, la moyenne U n'est plus donnée, au contraire c'est ce qu'on cherche. Donc utiliser ( X - 500g) / (2.5 / racine carré de 20) qui concerne l'estimation de la moyenne des 20 poids lorsque la moyenne par sac est 500 g c'est du n'importe quoi (*). par contre, tu peux reprendre le raisonnement de la première question pour évaluer la probabilité que ??? ("pour avoir une probabilité de 5 %" quelle probabilité, tu ne l'as pas dit) soit de 0,05. Bien entendu, ce seront des formules qui vont intervenir, avec U qui reste une lettre (c'est l'inconnue) et momentanément, la fonction de répartition de la loi Normale (mais on s'en débarrassera).
Donc voila le travail à faire. Commence, je t'aiderai.

Cordialement.

(*) On ne peut pas dire "ouin ben je suis vraiment pas faite pour les statistiques" si on prend au hasard les formules. La première chose est de bien comprendre la situation (l'énoncé, la deuxième de continuer à apprendre les règles de base en cherchant ce qui correspond vraiment.

gg

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