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Loi de N.

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Message par Naow le Sam 29 Mai 2010 - 16:35

Bonjour à tous,

je prépare un exam de stats, probas sur les VAR couples de VAR etc... =p

Et j'ai un gros soucis sur un exercice dont je ne trouve nulle part la solution, je suis surement trop nulle en math pour ça.


Exercice:

On a constaté que la probabilité qu'un individu choisi au hasard arrive en retard à un entretien est de 0,07.
Un entretien a eu lieu et 100 individus y sont convoqués. On note alors N le nombre d'individus arrivant en retard.

1. Quelle est la loi de N ? Justifier.
2. Par quelle loi peut-on l'approcher ?
3. Utiliser cette approximation pour calculer les probabilités des événements suivants :
a) aucun individu n'arrive en retard.
b) au moins trois individus sont en retard.


Si quelqu'un pouvez m'aider ça serait vraiment super sympa, là je séche même si je suis sûre que c'est pas si compliqué. =/

Merci d'avance !

Naow

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Message par droopy le Dim 30 Mai 2010 - 7:05

N suit une loi binomiale de paramètre n=100 et p=0,07 (B(100,0.07))
par une loi normale de paramètre mu=n*p et écart type=racine carré de n*p*(1-p) (voir ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale).
3a) 0.003039251
3b) 0.9415272
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Message par Naow le Dim 30 Mai 2010 - 15:54

Merci beaucoup pour l'aide, par contre je suis tellement nulle que je comprends pas d'où viennent les résultats.

Je vais aller voir dans mon livre à loi binomiale déjà, ça sera un début ! =) Je sais où chercher maintenant.

Alors j'ai saisi la première partie par contre la fin, c'est à dire où y'a des calculs... x_x


exo corrigé trouvé :


En gros, probabilité qu'un jouet soit défectueux = 0,006, et on considére un lot de n jouets.

questions :

1) Quelle est la loi de variable aléatoire Xn ? (On justifiera avec soin).
2) Pour n= 500, par quelle loi peut-on approcher la loi de la variable aléatoire Xn ? En déduire, pour cette valeur de n, une approximation de la probabilité qu'il y ait au plus deux jouets restant défectueux..


Donc le 1 jusque là ça va, comme le fait qu'on l'approche de la loi de Poisson... mais le 2 ils donnent comme réponse :

2)

n = 500 >= (supérieur ou égal à) 30
p = 0,006 <= (inférieur ou égal à) 0,1
np = 3 < 15

Donc la loi de X500 peut être approchée par la loi de Poisson P(3) et pour tout k appartenant N, p(500=K) environ e^-3(3k/k!)

D'où P(X500<= 2) = Somme pour k allant de 0 à 2 de e^-3(3k/k!) = e^-3 (1+3+9/2) = 0,423.


Voilà, en gros je vois pas du tout d'où viennent tous ces calculs x_x, même sur un exo corrigé. Désolée aussi pour la façon dont j'ai noté tout ça, je voyais pas comment l'écrire mieux même si il doit y avoir un truc.

Naow

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Message par droopy le Dim 30 Mai 2010 - 17:55

2) pour n = 500 effectivement tu t'orientes vers la loi de poisson parce que n est grand p petit, np<5 et npq <5 --> loi de poisson P(lambda) avec lambda=np

3) voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Poisson, p(k)=e-3 * (3^k/k!).
La probabilité que tu ais au maximum 2 individus est la probabilité que tu en es 0 + la probabilité que tu en es 1 plus la probabilité que tu en es 2. Si tu te sers de la formule ça donne ça :
Donc p(k<=2) = p(0)+p(1)+p(2)
p(0) = e-3 puisque 3^0=1 et 0!=1
p(1) = e-3*(3^1/1!) = e-3*3
p(2) = e-3*(3^2/2!)= e-3*(9/2)

donc p(k<=2) = e-3 + e-3*3 + e-3*(9/2) = e-3*(1+3+9/2)=0.423
--> ici il suffit de factoriser par e-3
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Message par Naow le Dim 30 Mai 2010 - 18:14

D'accord en gros c'est une formule qu'il faut connaitre.
Le ! ça veut dire quoi par contre ?

Et donc pour le premier exo dont j'ai parlé on peut aussi rapprocher la loi Binomiale par la loi de Poisson ?
Vu que ça correspond aux critères que j'ai pu trouver je pense mais j'en suis pas sûre.

Et cette formule p(k)=e-3 * (3^k/k!) je peux l'utiliser pour le premier exercice et retrouver les résultats que tu as donné ?

Naow

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Message par droopy le Dim 30 Mai 2010 - 20:41

oui ... les formules de calcul de proba des lois simples telles que la binomiale et de poisson sont à savoir.

le "!" veut factoriel, exemple 3! = 3*2*1, 5!= 5*4*3*2*1 et 0! =1.

Je dirais oui et non pour le premier exo. Non parce que normalement on considère que quand np>5 et npq>5 alors on passe vers une loi normale voir le lien que je t'ai donné, mais par simulation la loi de poisson semble meilleure et surtout np et npq sont très proche. Alors après ça dépend de tes cours et des règles qui t'ont été données en la matière.

La formule ne marche que pour le 2ème exo parce que encore une fois si tu regardes le lien tu vais que la formule est en fait :
p(x=k) = e-

λ*(λ^k/k!). Or λ est le paramètre de ta loi de poisson (P(λ)) et tu approximes le λ par np de ta loi binomiale.
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Message par Naow le Dim 30 Mai 2010 - 20:54

D'accord je comprends mieux, en fait j'ai loupé ce cours là du coup c'est un peu complexe vu mon niveau en math. ^^'

Je viens de rechercher là parce que le dernier lien que tu as mis marchait pas y'a pas mal d'infos en plus donc ça devrait être plus simple.
Je vais tester avec cette formule et essayer de retrouver tes chiffres alors si ça marche pas je me permettrai peut être de t'ennuyer à nouveau.

Merci beaucoup pour ton aide et ta patience ! Loi de N. Icon_smile

Bonne soirée.

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Message par Naow le Jeu 10 Juin 2010 - 13:44

Bonjour,

désolée pour le temps de réaction (et le double post) mais j'étais en partiel, j'ai recommencé à me pencher sur le tout petit problème qui reste...

Et je suis pas très sûre de savoir ce qu'est le paramètre de ma loi de Poisson (j'ai honte).

Donc j'ai testé comme ça avec P(0) vu que a) c'est aucun individu n'arrive en retard.

Donc p(0) = e^-7*(7^0/1) avec cette formule donc : p(x=k) = e-

λ*(λ^k/k!), donc ça fait 0.00091188...

Et curieusement ça m'a l'air bizarre et surtout ça correspond pas à ton résultat.

Après, je sais aussi qu'on est censés pouvoir utiliser des tables de stats, donc je sais pas si ça peut servir.

Naow

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Message par droopy le Ven 11 Juin 2010 - 6:35

si tu pars sur une loi de poisson avec lamda =7 alors ton calcul est juste. Le résultat que je t'ai fourni dans mon premier post correspondait à la probabilité estimé par rapport à une loi normale.

En plus c'est un peu dure de suivre de quel exo tu parles à chaque fois ...
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Message par Naow le Ven 11 Juin 2010 - 9:00

Oui c'est ça, désolée j'avais pas pensé à ce problème, je parle bien du premier exo =).

Et la probabilité qu'au moins trois individus sont en retard c'est la probabilité que 3 soient en retard plus celle que 4 soient en retard jusque 100 ? Ca me semble logique mais je vois pas trop comment raccourcir cet énorme calcul.

Bon ben je crois avoir globalement compris, merci beaucoup ! Loi de N. Icon_smile

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Message par droopy le Ven 11 Juin 2010 - 9:19

en fait en théorie c'est la probabilité que 3 soit en retard + la proba que 4 soit en retard jusqu'à 100 oui. Mais c'est aussi égale à 1 moins la probabilité d'avoir moins de 3 individus en retard. Et la du coup c'est beaucoup moins long a calculer à la main.

Il faut que tu vois que P(x≥3) = 1-P(x<3) = 1- P(x=2)+P(x=1)+P(x=0).

Ça ne te fait plus que 3 probas à calculer.
Moi je trouve : 0.9703638
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Message par Naow le Ven 11 Juin 2010 - 9:56

Ah, en effet x).

Quand je dis que j'ai une logique pitoyable en maths, c'était super bête en fait.

Bon ben j'ai définitivement fini de t'embêter, merci beaucoup encore une fois, désolée pour ma "bouletude" un peu excessive, bonne journée ! Loi de N. Icon_smile

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