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correction sur proba et logvraisemblance d'une loi poisson

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correction sur proba et logvraisemblance d'une loi poisson Empty correction sur proba et logvraisemblance d'une loi poisson

Message par deedee le Lun 26 Avr - 12:21

Bonjour,

J’aimerai trouver la proba P[yi=0] et la log vraisemblance d’un échantillon (y1,…,yn).

Je dispose d’une variable latente Yi* qui suit une loi de poisson de paramètre m.
F(y*)=( exp –m m y* ) / y* ! avec m>0 et y*appartenant aux entiers naturels

yi = 1 si yi*=0
0 si yi*≥1

Voici ce que j’ai trouvé :
P(yi=0) = 1 - p(yi=1)
= 1 – p(yi*≥1)
= 1 – [p ((exp –m m y*) / y*! ≥1)]
= 1 – [p ((exp –m m y*) ≥ y*! )]
= 1 – [p ((exp –m m y*) - y*! ≥ 0)]
= 1 – [1 - p ((exp –m m y*) - y*! ≤ 0)]
=1 – 1 + p ((exp –m m y*) - y*! ≤ 0)
= p((exp –m m y*) - y*! ≤ 0)
=F(X≤x)
La fonction de répartition est : φ((exp –m m y*) - y*!) (la fonction de répartition n’est pas en fonction du paramètre m ?)

Vraisemblance individuelle :
F(yi/ φ) = p(yi=1)yi
p(yi=0)1-yi

Vraisemblance de l’échantillon :
L(φ) = ∏ F(yi/φ) = ∏ p(yi=1)yi p(yi=0)1-yi
= ∏ (1- φ((exp –m m y*) - y*!) yi φ((exp –m m y*) -y*!)1-yi

Log vraisemblance :
L(φ) = ∑ (yi log[ 1 - φ((exp –m m y*) - y*!] + (1-yi) log [φ((exp –m m y*) - y*!)])
=ýN (yi log[ 1 - φ((exp –m m y*) - y*!] + (N- ýN) log [φ((exp –m m y*) - y*!)]

Avec ý= 1/N ∑YI

Merci d’avance

deedee

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correction sur proba et logvraisemblance d'une loi poisson Empty Re: correction sur proba et logvraisemblance d'une loi poisson

Message par droopy le Lun 26 Avr - 20:44

pour moi
P(yi=0) = 1 - p(yi=1) = 1-p(yi*=0) = 1-( exp –m )
et p(yi=1) = ( exp –m )

donc la vraisemblance :
∏ p(yi=1)yi p(yi=0)1-yi = (1-(exp–m))yi * (exp–m)1-yi

et après simplification pour moi la log vraisemblance est :
∑[yi*log(em-1)-m]
droopy
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correction sur proba et logvraisemblance d'une loi poisson Empty proba et log vraisemblance :nouvel énoncé sans erreur

Message par deedee le Mar 27 Avr - 8:53

J'avais fais une erreur en recopiant l'énoncé mais ca ne change pas ce que j'avais trouvé.

J’aimerai trouver la proba P[yi=0] et la log vraisemblance d’un échantillon (y1,…,yn).

Je dispose d’une variable latente yi* qui suit une loi de poisson de paramètre m.
F(y*)=(exp –m m y* ) / y*! avec m>0 et y*appartenant aux entiers naturels

yi = 1 si yi*≥1
0 si yi*=0

deedee

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correction sur proba et logvraisemblance d'une loi poisson Empty Re: correction sur proba et logvraisemblance d'une loi poisson

Message par droopy le Mar 27 Avr - 12:12

p(yi=0)=p(yi*=0)=e-m
p(yi=1)=p(yi*≥1)=1-p(yi=0)=1-e-m

La vraisemblance :
∏ p(yi=1)yi.p(yi=0)1-yi = ∏(1-e–m)yi.(e–m)1-yi

la log vraisemblance :
∑[yi.log(em-1)-m]

Voila ce que je trouve
droopy
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correction sur proba et logvraisemblance d'une loi poisson Empty Re: correction sur proba et logvraisemblance d'une loi poisson

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