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intervalle de confiance

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Message par popotam le Mar 26 Déc 2006 - 9:37

Bonjour,

Une prof m'a dit que lorsqu'on construit un intervalle de confiance pour un estimateur biaisé, l'erreur quadratique moyenne prend la place de la variance par rapport au cas où l'estimateur n'est pas biaisé.

Quelqu'un peut m'expliquer ça ? Rolling Eyes

popotam

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Message par jb le Mar 2 Jan 2007 - 13:52

Salut,

Est ce que ce qui suit peut t'aider?

"Lorsque ton estimateur est non biaisé, l'erreur quadratique moyenne est également à la variance et lorsqu'il est biaisé l'erreur quadratique moyenne est égale à la variance plus le biais au carré. "

jb

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Message par popotam le Mar 2 Jan 2007 - 14:12

Ben non je sais bien ce qu'est l'EQM, ma question est de savoir pourquoi l'EQM dans l'intervalle de confiance à la place de la variance.

popotam

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Message par Enzo le Ven 5 Jan 2007 - 10:26

Salut,

C'est pas bien compliqué à comprendre...L'objectif d'un IC est de couvrir la vraie valeur d'un paramètre avec une probabilité p.

L'estimateur que tu utilises a une distribution statistique. Il faut par conséquent que l'on prenne toutes les valeurs de cette distribution de manière à en couvrir p%.

Pour un estimateur non biaisé, il suffit juste de tenir compte de la dispersion de l'estimateur dans le calcul de l'IC (ceci est fait par la variance).

Pour un estimateur biaisé en revanche, il est nécessaire de tenir compte de la fausseté du paramètre de localisation en plus de sa dispersion. L'objectif de cette manip (qui est une sorte de Rao-Blackwellisation si mes souvenirs sont exacts) est de recentrer l'IC sur la vraie valeur à estimer.

Au final, ce n'est pas exactement l'EQM qui prend la place de la variance mais une fonction de l'EQM (il y a des racines qui trainent là dedans) qui prend la place de la variance.

voilà
a+

Enzo

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Message par popotam le Ven 5 Jan 2007 - 11:01

Bonjour Enzo I love you

Cela ne me convaint guère car il n'y a pas de mathématiques dans ce que tu écris.

D'ailleurs je crois que j'ai un contre-exemple : un estimateur convergent, biaisé, gaussien, mais si tu renormalises par l'EQM, tu n'obtiens pas une gaussienne centrée réduite.
Donc je me demande quel est l'énoncé exact de ce fait.

Voici le "contre-exemple" :

Soit X(i), i=1, 2.,.. une suite de gaussiennes iid de moyenne m et de variance sigma².
Soit Y(i), i=1, 2.,.. une suite de gaussiennes indépendantes de moyenne a(i) et de variance sigma², avec (somme des a(i) de 1 à n)/n qui tend vers 0 et (somme des a(i) de 1 à n)²/n qui tend vers un nombre >0.
Les suites X(i) et Y(i) sont indépendantes.

L'estimateur en question est un estimateur de m, c'est :

(somme des X(i) de 1 à n)/n + (somme des Y(i) de 1 à n)/n

Si tu as le courage de vérifier...
Rolling Eyes

popotam

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Message par popotam le Ven 5 Jan 2007 - 11:02

Bonjour Enzo I love you

Cela ne me convaint guère car il n'y a pas de mathématiques dans ce que tu écris.

D'ailleurs je crois que j'ai un contre-exemple : un estimateur convergent, biaisé, gaussien, mais si tu renormalises par l'EQM, tu n'obtiens pas une gaussienne centrée réduite.
Donc je me demande quel est l'énoncé exact de ce fait.

Voici le "contre-exemple" :

Soit X(i), i=1, 2.,.. une suite de gaussiennes iid de moyenne m et de variance sigma².
Soit Y(i), i=1, 2.,.. une suite de gaussiennes indépendantes avec Y(i) de moyenne a(i) et de variance sigma², avec (somme des a(i) de 1 à n)/n qui tend vers 0 et (somme des a(i) de 1 à n)²/n qui tend vers un nombre >0.
Les suites X(i) et Y(i) sont indépendantes.

L'estimateur en question est un estimateur de m, c'est :

(somme des X(i) de 1 à n)/n + (somme des Y(i) de 1 à n)/n

Si tu as le courage de vérifier...
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Message par Singleton le Ven 5 Jan 2007 - 11:39

L'expression du risque quadratique (c'est a dire la moyenne pondérée de l'erreur au carré) d'un estimateur c'est (j'appelle Eq l'esperance de parametre q, Qn mon estimateur et Q=q le parametre estimé):
Eq((Qn-Q)^2)=E ( (Qn - Eq(Qn) - Q + Eq(Qn) )^2)
si on devellope ca donne (en utilisant l'indentité remarquable et le fait que Q soit deterministe) :
Eq((Qn-Q)^2)=Eq( (Qn-Eq(Qn))^2) + (Eq(Qn) - Q)^2 = Varq(Qn) + S

S c'est le biais, c'est a dire qu'il vaut 0 si Eq(Qn) = Q.

Tu vois donc que si l'estimateur Qn est sans biais la quantité S n'existe pas et le risque quadratique de l'estimateur c'est sa variance. Par contre si l'estimateur est biaisé il faut rajouter S car cette quantité ne vaut plus 0 et le risque quadratique est different de la variance.

Comme t'as dit Enzo si l'estimateur n'a pas de biais, son erreur c'est uniquement sa dispersion par rapport a sa moyenne qui est tout simplement le parametre estimé.
Si par contre l'estimateur est biaisé, a sa dispersion il faut rajouter l'erreur du a l'inexactitude de sa moyenne, c'est le biais.

Le fait de ne pas etre centré sur le parametre Q, ca fait que meme si certaines erreur vont etre diminué, en meme temps d'autres vont etre plus amplifiés que ces premieres diminuées:

exemple:

je prend un truc qui ocscille entre deux valeurs -2 et 2.
la variance vaut 2^2+2^2=4.

Maintenant je le decale de 2 a droite.
Il oscille cette fois entre 0 et 4.
Le terme qui valait -2 se retrouve en 0 et ne genere pas d'erreur, mais le terme qui etait en 2 se retrouve en 4 et genere une erreur quadratique de de 16:
0^2+4^2=16.

Tu vois donc que quand on ecarte un phenomene d'une certaine moyenne, s'il conserve la meme variance, la moyenne de ses erreurs au carrés son amplifiées.
C'est du au propriété algebrique des nombres au carrés:
si je prend une quantité n des nombres dont la somme est constante.
Le plus petit nombre possible composé de la somme de ces nombres elevé au carré, c'est celui ou l'ecart des nombres choisis est minimum.
par exemple avec 4
1^2+3^2=10> 2^2+2^2=8

Tu vois donc que si on s'ecarte de la moyenne, il faut rajouter un terme correcteur du au decalage, c'est le biais.

Singleton

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Message par Singleton le Ven 5 Jan 2007 - 12:08

popotam a écrit:Bonjour,

Une prof m'a dit que lorsqu'on construit un intervalle de confiance pour un estimateur biaisé, l'erreur quadratique moyenne prend la place de la variance par rapport au cas où l'estimateur n'est pas biaisé.


Par contre quand on fait L'IC, s'il y a une expression de sigma(la variance) qu'on ne connait pas, on remplace le sigma d'habitude par la variance empirique. Le risque quadratique n'intervient pas lors de la construction d'un intervalle de confiance. C'est un outil de comparaison, il n'a pas d'aproximation car c'est lui meme deja un calcul.
S'il y a un parametre sigma dans l'estimateur on ne le remplace pas par le risque quadratique, mais par un estimateur de la variance.
Aussi ce qu'on construit c'est un intervalle de confiance pour un parametre pas pour un estimateur. L'estimateur apparait sous forme implicite dans les bornes de l'intervalles dans lequel la probabilité de presence du parametre excede la limite fixé.

Singleton

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